X — 3 = 0, OU X

ce qui détermine une seconde droite parallèle à l’axe des y. Sixième e.xemplc.

xy — y — 3 x — 2 = o.

On tire de là

On reconnaît facilement que l’équation proposée représente (fig. 64 ) l’hyperbole JNL, N'L', qui a pour asymptotes les droites TT', RH', dont les équations sont

Exemptes dans lesquels on a B’ — 4 AC = o.

n i, Pn nnicr exemple.

LIGNES DU SECOND OllDRE.

Celte équation donne

On doit avoir une parabole, puisque la quantité placée sous le radical contient la première puissance de x, sans renfermer le carré de cette variable.

Le diamètre y— a x — i est la droite H' H ( fig . 65).

En faisant croître x positivement de o à l’infini , le radical, toujours réel, augmente de \/3 à l’infini ; ce qui détermine déjà deux arcs MN, M'N', rencontrant l’axe des x aux points L , L'.

Si l’on fait croitre x négativement jusqu’à — - » le radical <Jt.x - 4- 3 diminue jusqu'à zéro. Donc, en prenant

et en menant DE parallèle à l’axe des y , le point E, où celle parallèle coupe le diamètre, sera celui où viennent se réunir les deux arcs de la parabole.

Deuxième exemple.

y- - 1-2 xy -+- x7 — 2 y + i + i = o.

On tire de là

y = — .x ■+■ izb\ — 3x.

Le diamètre y = — x -y- i est la droite H'H [fig. 66). On voit facilement que la courbe a la position indiquée dans la

fig ■ 66.

Troisième exemple.

■*’ — y — 3x + 2 = o [fig. 67).

Si l’hn résout l’équation par rapport à y, il vient y — x7 — 3 x -4- ?, = (x — 1) (x — 2).

La courbe coupe l’axe des y à la distance AL = 2, cl

l’axe des x aux points M, N, dont les abscisses sont respectivement X—l, X = 2.

La valeur de y peut être mise sous la forme

Ou voit aisément que le maximum absolu du produit (2 — x) (x — 1) est ^ Si donc on prend, sur l’axe des y,

AD = et si l’on mène DE parallèle à l’axe des x, le

point E sera le plus éloigné de la courbe au-dessous de cet axe. L’abscisse correspondante à l’ordonnée maximum est

Les valeurs négatives de x donnent pour j- des valeurs toujours positives et croissantes jusqu'il l’infini ; il en est de même des valeurs positives de l’abscisse, à partir de x = 2. La parabole représentée par l’équation est donc LEL'.

O11 aurait pu construire la courbe en résolvant l’équation par rapport à x.

Quatrième exemple.

jr1 — 2 xy •+- .r’-+- Z y — 3i + î = o.

On a

ce qui détermine un système de deux droites parallèles. Dans ce cas, le premier membre de l’équation est le produit des facteurs

y — jc + i, y - * + 2;