La résolution de l’équation

A y* -4-Bx>--t-Cx,4-Dj^4-Ex-t-F = o

a suffi pour faire connailre la forme et les variétés des lignes du second degré; mais pour reconnaître plus facilement les propriétés de ces lignes , il convient de ramener leurs équations aux formes les plus simples possibles. On y parvient en changeant le système des coordonnées. Par ce moyen, on introduit des indéterminées dont on dispose pour faire disparaître quelques-uns des termes de l’équation.

Reprenons l’équation générale (A) A/1 -f- B xy -t- C -t- Dj + Ej; -f F = o.

• Transportons les axes parallèlement à eux-mèmes , les coordonnées de la nouvelle origine étant quelconques. iNous ferons

a cl b étant les coordonnées de la seconde origine; y\ x les nouvelles coordonnées variables.

La substitution des valeurs de x et de y dans l’équation (A) conduit à .

/Ay*-t-B.r'.r'+Cx',-f- 2 A4 jr'-t-lC a x‘ ’■+■ A B uh -+- C o’-t- D 4 -4- E a -t- F = b

nÊDICTION DE L'ÉQUATION DU SECOND liECUÉ. 1 53 jNous (levons faire remarquer: i°. que les termes du second degré n ont pas changé; 2°. que les coefficients de y' et de x' s’obtiennent en prenant les dérivées par rapport à y, et par rapport à x , du premier membre de l’équation (A) , et en remplaçant dans ces dérivées x et y par les coordonnées a et b de la nouvelle origine; 3°. enfin , que la partie indépendante s’obtient en mettant a et b à la place de x et de y, dans le premier membre de l’équation (A).

En revenant à l’équation (B), nous profiterons de l’indétermination de a et de b pour faire disparaître les termes du premier degré. Nous poserons alors

(D) îAi + B« + D = o, sC»+ Bfc + E = o;

d’où nous tirerons les valeurs