AE — BD 2 CD — BE

Pour 1 es ellipses et les hyperboles , le dénominateur B! — 4 AC étant di lièrent de zéro, les valeurs précédentes , sont finies et déterminées; d’où il résulte qu’eu plaçant l’origine au point qu’elles font connaître, l’équation (B) se trouve réellement débarrassée des termes en x' et y' . Ce point est le seul qui jouisse de cette propriété, puisque les équations qui font connaître a et b n’admettent qu’une solution.

La simplification est impossible pour les paraboles, puisque B’ — 4 AC = o , et qu’alors les valeurs de a et de b sont infinies, en supposant que les numérateurs ne soient pas nuis.

Si un des numérateurs 2AE — BD, par exemple, est égal à zéro, l’autre sera aussi zéro, et, par suite, les valeurs de a , b seront indéterminées. On sait que dans ce cas les équations (D) qui ont fourni ces valeurs rentrent l’une dans l’autre, ou, ce qui revient au même , les droites que

ces équations représentent se réduisent à une seule. 11 existe alors une infinité d’origines situées sur cette droite pour lesquelles on peut faire disparaître les termes du premier degré. Mais, dans ce cas, l'équation du second degré ne représente plus une courbe. En eifet, en résolvant cette équation par rapport à y, comme on trouve d’abord

± v/(B‘— 4 AC)x>H- 2 (BD — 2 AF.) x+ D2 — 4 AF,

la double supposition

B1 — 4 AC = o , BD — îAE = o, réduit ces valeurs à

± v'U’— 4 AF.

Or, ici on a nécessairement deux droites parallèles, une seule droite, ou deux droites imaginaires , suivant que I)! — 4 AF est positif, nul, ou négatif.

Il résulte de ce qui vient d’être dit, que les ellipses et les hyperboles sont les seules courbes du second degré , dont l’équation puisse être ramenée h la forme

(F) Ay,4- B ry 4- C.t’ 4- F' = o.

Nous ferons observer que dans le cas où le seul changement d’origine ne suffit pas pour faire disparaître les termes du premier degré, cette simplification est également impossible, si l’on change à la fois l’origine et la direction des axes. En effet, supposons que cette dernière transformation ail conduit à l’équation (E). En remplaçant les nouveaux axes par d’autres qui aient la même origine cl qui soient parallèles à ceux des coordonnées primitives x et i , les

RÉDUCTION DE L ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. i55.

valeurs que l’on devra substituer seront de la forme x — mx' -+- ny' , yr= m' x' - 4- n'y',

et cette substitution ne reproduira aucun terme du premier degré. D’où nous conclurons que si l’on était passé d’abord de la première origine à la seconde, sans changer la direction des premiers axes, les termes du premier degré auraient disparu. On voit par là que la direction des axes n’a aucune influence sur l’évanouissement des termes du premier degré.

Évanouissement du rectangle.

96. Jusqu à présent les coordonnées avaient une direction quelconque; dans la question qui va nous occuper, nous les supposerons rectangulaires : si elles ne l’étaient pas, on sait qu’on pourrait les rendre telles par une transformation d’axes.

Cela posé, proposons-nous de faire disparaître, si cela est possible, le rectangle des variables en prenant de nouveaux axes aussi rectangulaires. Ou voit qu’il est inutile de changer l’origine ; car, si en la plaçant en un certain point, le rectangle s'évanouit, la simplification aurait encore lieu pour toute autre origine, puisqu’on y transportant les nouveaux axes parallèlement à eux-mêmes, les termes du second degré ne devraient pas changer, et, par suite, le rectangle des variables ne saurait reparaître. Nous prendrons donc les formules qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d’axes aussi rectangu-. laires , en y faisant

Nous aurons alors

x = x' cos x — y' sin a , y = a/ sin x -t- y ' cos a.

Ces valeurs, portées dans l'équation générale, donneront

A cos* «

.r's-f-2 A sin a cos «

r'.r'-hA sin* a

•r'M-Deosal

«B sin a cos a

— B sin* «

-t-B sin a cos a

—B sin al

C sin1 a

H- B cos* «

— sCsin a cos a

-i-C cos* a

^'H-Dsina r/ + F==o, -4-E cos a

équation que l’on peut représenter par

(C'} Mjr'5-t- Ri>'+ N-r'5-|- R/'+ Sx'-f- F = o.

Pour que le terme qui contient le rectangle des variables disparaisse, il faut qu’eu égalant son coefficient à zéro , on obtienne pour o une valeur réelle. Ce coefficient revient à

a ( A — C) sin a cos a 4- B (cos5 a — sin5 a).

L’équation à résoudre est alors

2 (A — C) sin a cos x -+- B (cos5 a — sin5 a) = o, ou

(A — C)sin2a-t-B cos 22 = 0;

d’où l’on tire

tang 7.a. = —

line tangente pouvant passer par tous les états de grandeur entre -+- co et — c© , il en résulte que 2 o est toujours réel.

La valeur — ~ q de tanS a * correspond à un premier

arc moindre que 180 degrés que nous pouvons désigner par 7.0.'. Nous ferons remarquer, en outre, que a étant compris entre o et 36o degrés, 70 est compris entre o, 36o°X 2. Les valeurs de 2 « sont donc

et celles de « ,

a', a' -+- 90°, o! ■+• go° X 2 , a' ■+- 90" X 3.

Les deux premières déterminent deux droites perpendiculaires, cl les doux dernières correspondent aux prolonge-

rédictio.v de l’équation du second degré. i.V meut s de ces droites. 11 est visible que si l’on prend l’une d’elles pour l’axe des x', l’autre sera celui des y1.

Rappelons- nous que l’origine n'a pas été- changée et qu’elle était, d’ailleurs, située d’une manière quelconque. On reconnaît alors qu’il existe pour chaque origine un système d’axes rectangulaires au moyen duquel on fait disparaître le rectangle x' y' ; ce qui ramène l’équation généralé à la forme

(H) My»4-Nx'M-R/4-Sa:'-»-F=o.