I. 'équation générale peut être ramenée à la forme

On reconnaît quelle représente un cercle; on voit aussi que tang a a est indéterminée, ou plutôt que le coefficient du terme en x' y' est nul de lui-même. On apprend par là qu’en prenant deux axes rectangulaires quelconques, on ne ramènera pas dans l’équation le rectangle des coordonnées. Et, en ellet, ou sait que l’équation générale du cercle, rapporté à des axes rectangulaires, ne renferme pas le rectangle xy.

98. On a vu que l'équation primitive représente une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que la quantité B’ — 4 AC est négative, positive ou nulle. I.a quantité analogue déduite de l'équation (H) est — 4*d-N; donc, les coefficients M , N doivent être de même signe dans le cas de l’ellipse, et de signes différents pour l’hyperbole. Dans le cas de la parabole, un de ces coefficients doit être nul. On reconnaît facilement qu’ils ne peuvent pas être

tous deux égaux à zéro, puisque l’équation (H) cesserait

d’être du second degré.

99. D’après ce qui précède , si l’on considère les ellipses et les hyperboles, on peut faire disparaître d’abord les termes du premier degré, en changeant l’origine, et ensuite, le rectangle des variables, en prenant de nouveaux axes rectangulaires. On pourrait renverser l’ordre des transformations. On est conduit à une équation de la forme

X eiy étant les dernières coordonnées.

Puisque, dans le cas de l’ellipse, M et N sont de mètne signe, en faisant

l'équation peut s’écrire comme il suit : r3 -+- «3x3 = p.

Dans le cas de l’hyperbole , M , N , étant de signes différents , on fait

et l’on a

L’équation de la parabole ne peut prendre aucune de ces deux formes, puisqu’il est impossible de faire disparaître les deux termes du premier degré. Mais on peut faire évanouir le rectangle, ce qui entraîne en même temps la disparition de l’un des carrés. Par cette première transformation, on ramène l’équation des paraboles à la forme

(L) M/+Ry + Sr + F = o,

en supposant, toutefois, que ce soit le carré de x qui disparaisse.

RÉDUCTION DE l’équation DU SECOND DEGRÉ. lf>9

Changeons maintenant l'origine des coordonnées; pour cela , nous poserons

cl l’équation (L) deviendra

H/'+(2M b -b R) /'-b S*' -b Mi’+ Ri+S« + F = o. Les quantités a , b étant indéterminées , nous écrirons îMi + R = o, Mi!+ Ri + Sn+F=o.

On tire de là

Mi’ -b R à -t- F S

La valeur de b est finie, puisque M est diflérent de zéro. Celle de a est finie aussi , pourvu que S 11e soit pas nulle. Cette condition sera remplie lorsque 1 équation (L) représentera une parabole. Car, si on avait S = o, la première transformation réduisant l’équation à Mjr’-b R;+F=o,

ou n’aurait plus qu’un système de droites parallèles à Taxe des x, une seule droite, ou deux droites imaginaires.

On voit, parce qui vient d’èlrcdit, qu’en plaçant l’origine au point que déterminent les \aleursde a, b , l’équation de la parabole pourra se réduire à

ou bien à

y1— 2/jx,

en posant — — = ip.

On peut conclure de ce qui précède, que par une double transformation de coordonnées et en choisissant les axes rectangulaires, les ellipses, les hyperboles et les paraboles peuvent être représentées par les équations

J3 -b = P, mx' = p,

= 3 px.

Digitin

100. 11 convient maintenant d’exécuter les calculs nécessaires pour ramener les équations des courbes du second ordre aux formes qui viennent d’être indiquées.

Supposons d’abord que l’équation

(A) A y3 Bxy-t- C-r’-f- Dy -+- Ex + F = o

représente une ellipse ou une hyperbole.

Première transformation. — Pour faire disparaître les termes du premier degré, on a vu qu’il faut changer x en x -(- a , et y en y -f- b , ce qui donne

A y2-r B xy Cx’+ a A b ■+- B«

x -4- A b1 \ -4- B ab I + Cn’ I -t-Di / -+- E a \ + F 1

Les coordonnées de la nouvelle origine sont déterminées parles équations

(i) ?.Ai+B«4-D = o, 2 Cfl -h Bi -f- E = o.

On a de plus , en désignant par F' la partie indépendante, F'= Ab’-h -h Gn:-+- Di -t- E« -h F.

Cette valeur de F' peut être simpliliée. En effet, si l’on multiplie respectivement les équations (i) par b et n, et qu’on ajoute les produits , il viendra

2 A i? 4- 2Bfli-t-îCfl!+l)i + Efl=o;

d’où

A i! 4- B ni 4- C tr = —

qui Ci

i conduit à

Si l’on joint à cette valeur de F' les valeurs de a et de b

RÉDUCTION DE h ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. l6l

(u° 95), on aura , pour les formules relatives à la première transformation :