CD — BE B5 — 4 AC
Deuxième transformation . — Dans la première transformation, les coordonnées pourraient Être quelconques; mais dans la seconde, on doit les supposer rectangulaires. Si elles ne l’étaient pas, on pourrait les rendre telles, sans faire reparaître les termes du premier degré. De sorte que l’équation sur laquelle on aurait à opérer se ('ait toujours de la forme
\y* -+- B xy -f- Ci’+ F' = o.
Pour faire disparaître le rectangle xy, on changera x en r. cos a — >• sin a,
et y en
x sin a -t- y ros a ;
ce qui conduira à
ta„g2a=__J,
valeur de laquelle on déduit facilement
sm 2.2= •
: v/ 1 -+- tang'' ? a rh v B' -4- ( A — C)’ tang sa — B
rfc v'i-j- tang' 2a ± vB'-4- (A — C)
Les deux valeurs égales et de signes contraires qu’on obtient pour siu 2 oc et cos 2a, conviennent à la question et correspondent à deux droites pcrpendiculai res l’uneà l’autre, dont chacune peut être prise indifféremment pour axe des x. Nous emploierons celle qui est déterminée par la valeur
îfia ch ai’Ithe huitième.
positive du radical, de sorte que nous écrirons
cos a a —
sin 2a —
On voit que sin a a sera, alors , de signe contraire à B.
Calculons actuellement les coefficients M , N , P , de 1 équalion (K) du n" 99.
En nous reportant à l’équation (C) (n°96, page 1 56), nous aurons
M = A cos5 a — B sin a cos a -f- C sin5 a,
N = A sin5 a -H B sin a cos a + C cos5 a.
D ailleurs,
Des deux premières équations on tire M + N = A+C,
M — N = (A — C) ( cos5 a — sin5 a) — 2 B sin a cos a = (A — C) cos 2 a — B sin 2 a = B.+ (A-C)- = ^,+ j„
Prenant les valeurs de M et de N, et joignant à ces valeurs celles de tang 2a et de P, on a, pour les formules relatives à la seconde transformation :
tans 2 a = —
M = * [A -t- C + v'b’-pTa— C)5], a
101. Supposons que l’équation (A) du n° 95 (page i5a) représente une parabole. Il s'agit, comme on sait, de ra-
réduction de l'équation nu second degré. iGS
mener cette équation à la forme
Dan» ce cas, on fait d’abord disparaître le rectangle des variables, et ensuite on change l’origine.
Première transformation. — On a vu ( n" fKt . page i58) qu’elle conduit à l’équation
M/! ■+• R y +Sx + F = o.
Les premiers axes sont rectangulaires; il en est de même des seconds, et la valeur de « est toujours donnée par la même formule
lang 2 x =
Les v aleurs de M et de N sont déterminées par les formules trouvées précédemment.
Mais, dans la parabole, on a
ir-=4 ac,
et . par suite,
On peut toujours supposer A positif dans l'équation (A). Alors, d’après la relation
B’=r4AC,
C. sera aussi positif. D’où il résulte que si l'on continue de prendre le radical positivement, on aura
On sera conduit, en conséquence, à
tang 2« = cos 2 a. =?
sin 2 a — .
l64 CHAPITRE HUITIÈME.
La dernière égalité fait voir comment l’évanouissement du rectangle entraîne la disparition d’un des carrés.
Il faut, en outre, calculer R et S. Or, quand on remplace x et y respectivement par
on obtient
