AM = AM

• • et en menant les ordonnées MP, M' P', les deux triangles

AMP, AM' P' seront égaux. Donc AP= AP'; ce qui apprend que les racines de l’équation (2) doivent être égales et de signes contraires. On doit donc avoir

Comme celte condition doit être remplie, indépendamment de toute valeur de a , il faut qu’on ait D = o , E = o, et par conséquent les ternies du premier degré n’entrent pas dans l’équation (t).

Réciproquement, lorsqu’on aD = o, E = o, l’équation (2) qui donne les valeurs de x a ses racines égales et de signes contraires. D’où l’on peut facilement conclure que les triangles AMP, AM'P', sont égaux, et , par suite, que toute ligne MM' menée par l’origine a ses deux points de rencontre avec la courbe «à égales distances du point A ; c’est-à-dire que cette origine est un centre.

D’après ce qui vient d’être dit, pour qu’une courbe du second degré ait un centre, il faut qu’il existe un point tel , qu’en le prenant pour origine, et en y transportant lès axes parallèlement à eux-mêmes, les termes du premier degré puissent disparaitte. Or, ou a vu précédemment que cette transformation est impossible pour les paraboles, et qu’elle 11e peut exister que d’une seule manière pour les ellipses et les hyperboles. Les ellipses et. les hyperboles ont donc un centre unique ,• mais les paraboles n'en ont pas.