RÉDUCTION DE L’ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

nées , y par exemple, n eutre qu’au carré dans l'équation d’une ligne du second ordie, l’axe auquel l’autre coordonnée, x, est parallèle, est un diamètre; en etlet, pour chaque valeur de x , les valeurs de y sont égales et de signes contraires; c’est-à-dire que l'axe des abscisses divise en deux parties égales un système de cordes parallèles à l’axe des y, et, par suite, cet axe des abscisses est un diamètre.

Lorsqu'un diamètre rectiligne est perpendiculaire aux cordes qu’il divise en parties égales , ce diamètre est nommé axe de la courbe. La partie comprise dans la courbe est la longueur de l'axe; les points où l’axe reucontre la courbe s’appellent soiwnels.

11 résulte de là que dans les équations

de l’ellipse, de l’hyperbole et de la parabole, 1 axe des abscisses est un axe de la courbe, et que pour les deux premières seulement, l’axe des ordonnées est aussi un axe de la courbe. Car, d’après l’équation de la troisième courbe, à chaque valeur de y il ne correspond qu’une seule valeur de x.

ISous démontrerons , par la suite, que les axes dont nous venonj de parler sont les seuls qui existent dans les courbes du second ordre ; c’est-à-dire que l’ellipse et l’hyperbole ont chacune deux axes, et que la parabole n’en a qu’un seul.

DE L’ELLIPSE

104. On a vu que, par une double transformation de coordonnées, et en prenant des axes rectangulaires, l’équation de l’ellipse peut être ramenée à la forme

y* -t- m,xt— p.

11 est facile de reconnaître que cette équation n’est réellement celle d’une ellipse que dans le cas où p est positif. Car, si j> est négatif, 1 équation est impossible, et si p = o , elle ne peut plus être satisfaite que par le système

qui donne l’origine des coordonnées. Puisque p doit être positif, nous le remplacerons par et l’équation de l’ellipse sera

y‘ - f- ni2 x1— b *.

Sous cette forme, on voit : i°. que l’origine est le centre de la courbe, les termes du premier degré n’entrant pas dans l’équation ; 2°. que l’axe des x et celui des y sont des diamètres et même des axes de la courbe; chaque valeur de l’une des coordonnées donnant pour l’autre deux valeurs égales et de signes contraires, et ces mêmes coordonnées étant rectangulaires.

Pour trouver les grandeurs des axes, ou fera successivement y— o , X — o, dans l’équation de la courbe. Or, y — o donne

de l’eli.ipse. 169

cl x — o donne

On devra donc prendre sur l’axe des x (fig- bp),