AD=AD

Les distances BB', DD', sont les longueurs des axes.

O11 nomme grand axe ou premier axe la plus grande de ces distances, cl petit axe ou second axe la plus petite. Les quatre points B, B', D, iy, sout les sommets de l’ellipse. Toutefois, on donne plus particulièrement ce nom aux extrémités du grand axe.

En faisant

— = a, cl ou ni = -■> ni a

et en mettant celte valeur dans l’équation

y'-hm'x' = b\

011 obtient

Comine le centre est pris pour origine , et que les axes de la courbe sont les axes de coordonnées, 011 dit que cette équation est celle de V ellipse rapportée à son centre et à ses axes. C’est, d’ailleurs, l’équation qu’on emploie le plus souvent.

Lorsque />= a , l’équation devient y7 + r5= a1,

qui représente un cercle dont le rayon est a. Le cercle est donc une ellipse dont les axes sont égaux.

105. Déterminons la forme de l’ellipse, au moyen de 1 équation (i).

S-tSti

CHÀF1TUE AEUY1EMF..

l)e cette équation ou tire

jr— dr - yn1 — x*.

On voit facilement que , x augmentant positivement depuis o jusqu’à n, les valeurs de y, toujours réelles, diminuent de b à o. Mais , x devenant plus graud que a , les valeurs dey sont imaginaires. On a ainsi, du côté AB, un arc de la forme DBD' (fi g- 6g). Si l’on change le signe de .r, les valeurs dejy restent les mêmes, ce qui donne, du côté AB', un arc DB'iy, exactement de la même forme que le précédent. On reconnaît sans peine que la concavité de la eourheest, en chacun de ses points , tournée vers le centre-, car autrement une ligne droite pourrait rencontrer la courbe on plus de deux points.

Puisqu’en prenant l’abscisse quelconque AP, les deux ordonnées correspondantes sont égales, si l’on fait tourner . la partie BM' B' autour de BB', on pourra l’appliquer sur la partie supérieure BMB', d’où il résulte que l’axe BB' divise la courbe en deux parties égales. La même propriété existe pour l’autre axe.

Si Ton désigne, en général, par x et y les coordonnées d un point M pris sur la courbe, on aura

AM = \jx* -t- y ■* = y/ x- -}- — (a1 — x1)

puisque le point M appartient à la courbe. 11 est permis de supposer que les abscisses sont comptées sur le plus grand axe, et alors a est plus grand que b. En faisant croître a: de o à a, la distance AM augmente de b à a. Donc, si du centre d une ellipse on mène des droites aux différents points de la courbe, la plus grande de ces ligues sera la moitié du

UE I. ELLIPSE

premier axe, et la plus petite est la moitié du second axe. La supposition b — a donne AM = a. Ce qui doit arriver, puisque l’ellipse devient un cercle, et que, dans celte dernière couibe, tous les rayons sont égaux.

En prenant deux points quelconques M, N, sur la courbe, on a, en vertu de l’équation (i),

PM =-(«*— AP ), P'N = -(«’ — AP' ); d’où l’on tire

PM" a3 — Ap3 (a-)- AP) (a — AP) PB' X PB

Pr* “ a’-Jp' ~ {V+ÂP')(«-AP') “ P'B' X P'B'

Donc , dans l’ellipse , les carrés des ordonnées perpendiculaires à l’un des axes sont, entre eux, comme les produits des segment » correspondants, déterminés sur cet axe.