PM — -X PN
En répétant celte construction , 011 pourra trouver autant de points qu’on voudra de la courbe.
DE L ELLIPSE
Nous forons observer que, à cause de la symétrie de l’ellipse par rapport à ses axes, on peut, au moyen d’un seul rayon AN, déterminer quatre points différents, M, M', M", M", de la courbe.
Deuxième construction. — D’un point quelconque E (fi g. 71) pris sur lesecond axe et avec un rayon égal à n -)-/>, décrivons un arc de cercle qui rencontre le premier axe en C. Joignons E, C, prenons EM = rt, et par le point M menons des parallèles MP, MG, aux deux axes.
Nous aurons
MP ; EG : : CM : ME, ou y’, fa* — x-'.’.b'.n.
Donc,
y = - \tr — x1 ;
par conséquent, le point M est à l’ellipse.
La droite EC pourrait être une règle dont la longueur serait «•+-/>, et sur laquelle on aurait pris EM = n. E11 faisant mouvoir cette règle dans l’angle YAX , le point M décrirait un quart de l’ellipse. On aurait les autres parties de la courbe en plaçant la règle dans les autres angles formés par les axes.
Troisième construction. — Prenons un point quelconque H (fig . 71) sur le second axe l)jy ; de ce point comme centre, et avec un rayon égal à a — b, décrivons un arc de cercle qui coupe B' B en I ; joignons II , 1 , et prenons IM=i. Le point M appartiendra à l’ellipse. En effet, si l’on mène la droite HK parallèle à B B', elle rencontrera en R le prolongement de l’ordonnée MP du point M. On aura alors
MP : MK ; : MI : MH , ou y : fa* — X * ;; b ; a ;
d’où
y — fa-—x~;
donc le point M appartient à l’ellipse
On peut regarder HM comme une règle d’une longueur égale à a , et sur laquelle on aurait pris MI = 4. En faisant mouvoir la partie IH de cette règle dans l’angle XÀY', le point M décrira un quart de l’ellipse. On aurait de la même manière les trois autres quarts de la courbe.
Des foyers et tics rlireçtrices.
108. En cherchantla distance d’un point du plan de l’ellipse à un point de cette courbe, et en exprimant cette distance au moyen de l’abscisse de ce second point, on obtient une expression dans laquelle cette abscisse est engagée sous des radicaux. Mais l'expression prend une forme rationnelle très-simple, lorsqu’on place dans certaines positions le point d’où l’on compte la distance. Proposons-nous de déterminer ces positions; alors la question à résoudre sera la suivante :
L’ellipse étant rapportée à son centre et à ses axes , trouver les points dont la distance à un point quelconque de cette courbe est exprimée par une fonction rationnelle de l’abscisse de ce dernier point. Ces points sont nommés foyers de l’ellipse.
Soient x',y\ les coordonnées d’un point pris dans le plan de l’ellipse ( fig . 72 ) , et x, y, celles d’un point quelconque de celte courbe. En désignant par 3 la distance des deux points, on aura
Le second point étant sur l’ellipse, on a , entre x et y, la relation
ce qui donne
— ix' x x'2 + - i'L—.yJ- 2 y X - frô — x * 4- y’2 ;
IVT. I. ELLIPSE.
ou, en ordonnant par rapport à x,
&=( n'~ b'\ x7 — ix' x + i’’+ è34- — 2/ X - —
Comme d doit être une fonction rationnelle de x, il faut que d! en soit une, et cette condition devant être remplie indépendamment de toute valeur attribuée à x , il est indispensable , pour que le radical disparaisse, que 1 on aity=o. On voit par là qu’un point ne peut être un foyer de l’ellipse qu’ autant qu’il est situé sur le grand axe.
En supposant y' = o , on a
^ x7 — yx'.r ~f- x'7 -f- b7.
Pour rendre rationnelle la valeur de d, il faut disposer de l’indéterminée x', de manière que le second membre soit un carré parfait. On remplit cette condition en écrivant
équation qui conduit à
x' — rt v
Ces valeurs ne sont réelles qu’autant que n est plus grand que b , ce qui indique que les abscisses doivent être comptées sur le grand axe. S’il en est ainsi , on trouvera deux foyers situés sur le grand axe de part et d’autre du centre, à une
distance de ce point égale à — h*.
On construit les foyers en décrivant du point D, extrémité du second axe, comme centre, et avec un rayon égal à a. un arc de cercle rencontrant le premier axe aux points
F et F'.
On reconnaît en effet, par cette construction , que AF = AF'=
*7f> CIIAriTHE NEUVIÈME.
On nomme excentricité de l’ellipse, la distance de chaque foyer au centre.
Déterminons, maintenant, les distances FM, F'M, des foyers à un point quelconque de la courbe. Ces distances sont nommées rayons vecteurs.
Pour obtenir FM , il faut dans la dernière expression de d* remplacer x' par 4- sja' — b*, et pour avoir F'M, il faut mettre — \Ud — té à la place de x'. Faisons, pour abréger, Vrt* — lr = c\ nous aurons
FM = — '2 ex -4- ti7.
ax
F'M =: hsex-t-n’. " .
Prenant les racines carrées, il vient
Ou ne doit admettre pour les longueurs FM, F'M , que les valeurs positives. Comme x est plus petit que a pour les différents points de l’ellipse, et que c est aussi plus petit que a , on prendra les valeurs
FM — a — -, F'M ==« — :
en ajoutant ces valeurs on trouve
FM -t- FM = 2 a.
Ce qui apprend que, dans l’el/i/jse, la somme des rayons vecteurs est constants et égale au grand axe.
