K 1. ELLIPSE

Or,

PF' = i+ (, PF = x — c ; les triangles rectangles MPF', MPF, donnent

(1) (a 4- i)-z=jr,+ (c + x)1, (a — z)7=y+ (c — x)7.

Eliminons z entre ces équations. En retranchant la seconde de la première, il vient

Laz = icæ , d’où z = — —

Portant cette valeur de z dans une des équations (i), dans la première par exemple, on a

ia-+-~) = /’+(<• "F *)*i

d’où l’on tire facilement

Comme MF -+- MF' est plus grand que FF', a est plus grand que c, et la différence a* — c’ est positive: l’équation (2) ne diffère de l’équation

qu’en ce que b7 est remplacé par n7 — c* ; les deux équations deviendront identiques si l’on fait a* — c’ = b*.

L’équation (2) représente donc une ellipse dont le grand axe est ia, et le petit axe i\Ja7 c*.

111. Chaque foyer divise le grand axe en deux segments égaux à («-4- \la* — b ’)> ( a — \ja.7 — b ’), dont le produit est &*, carré de la moitié du petit axe. C’est au moyen de cette propriété qu 'Apollonius a défini les foyers.

\ 12. Nous allons faire connaître deux droites correspondantes aux foyers de l’ellipse, et qui jouissent d’une propriété remarquable.

CHAPITKË JHElIVItMK.

Dans le sens FX (fi g- j3) des abscisses positives, prenons à partir du centre À une longueur quelconque AG = d , et menons la perpendiculaire HGK au grand axe.

La distance ML d’un point quelconque de l’ellipse à cette

ex

droite sera (d — ,r). On sait que FM = a — — ; on aura

alors

MF o5 — ex SïT. = a(d—x)

a * — ex e

cd — ex a

En prenant le point G de manière que cd = a*, c’est-à-dire en supposant la distance d troisième proportionnelle à c et a, on obtient

MF c ML ~ a'

Si l’on prend la distance AG' = d— — i cl si l’on mène

la perpendiculaire H'G'K', on obtiendra

F' M a1 -t- ex a‘ ex c c

Ml.' a (d - |- x) cd -4- ex ' ' a a

Les deux perpendiculaires HK , H' K', sont ce qu’on nomme les directrices de l’ellipse.

Les propriétés caractéristiques de ces lignes peuvent , d’après ce qui précède, s'énoncer de la manière suivante : Les distances de chaque point de l’ellipse à l’un des foyers et à la directrice voisine de ce foyer , sont entre elles dans un rapport, constant qui est celui de l’excentricité au demigrand axe.

Ce que nous venons de dire conduit naturellement au problème suivant r

Trouver une courbe telle, que les distances de chacun de ses points à un point et à une droite donnés, soient.

entre elles dans le rapport constant — •

Soient F' et H'K/ (Jig. 73) le point et la droite donnés.

DK L ELLIPSE.

Du point F' abaissons sur II' K' la perpendiculaire indéfinie G'X , et partageons la distance F'G' en deux segments F'B', B'G' dans le rapport de m a n. Le point B' appartiendra à la courbe. On pourra , sans que la question perde de sa généralité, supposer

Choisissons le point B' pour origine; élevons B' Y perpendiculaire à B'X, et prenons les deux droites B' Y, B'X pour axes de coordonnées.

En désignant par x et y les coordonnées d’un point quelconque M de la courbe, les distances de ce point au point F' et à la droite H' K', seront

MF' = (x— m)\ M L' = x + »

On aura, d’après l’énoncé,

D’où, en élevant les quatre termes à la seconde puissance, «l en effectuant les calculs,

n'y* -f- (/?’ — ni1) x1 — 2 mn (n + m ) x = o.

On voit par cette équation, qui est celle de la ligne demandée , que cette ligne sera une ellipse , ou une hyperbole , ou une parabole, suivant qu’on supposera m<^n, ou //t^>//, ou m = n .

Soit Cherchons les points où la courbe rencontre

l’axe des or; on sait qu’on les obtient en faisant y=. o. Dans l’équation de celle courbe, l’hypothèse conduit à

( n' — m' )x* — 2 mn (h + ni) x — o ; d’où l’on tire

2 mn

x = o et x =z