AF' X AG
DF, 1. ELLIPSE
De ta tangente et de la normale.
113. Ou a déjà vu que la tangente en un point d'une courbe est la limite des positions que prend une sécante qui tourne autour de ce point, de manière qu’un second point de rencontre se rapprochant indéfiniment du premier, vienne se confondre avec lui. Désignons par x\y' , les coordonnées du point de contact M' {Jig. 74); cn menant une sécante par ce point et un second point quelconque M", dont les coordonnées sont x",y", l’équation delà sécante sera de la forme
Les deux points M', M", étant pris sur la courbe, leurs coordonnées doivent satisfaire à son équation ; on a donc
En retranchant la seconde équation de la première, on , obtient
ou
D’où I on tire
11 résulte de là que la valeur du coefficient angulaire de la sécante, calculé d’après la condition que les points M', M",
• ^ I JC* ) 1 JC** )
* se trouvent sur l’ellipse, est - — 7 — - — -
Si , maintenant , on suppose que le point jVlw se confonde avec le point M', en faisant x"~x', yH=y', la sécante
i84 ■» chapitre neuvième..
devient la tangente M'T, et le coefficient angulaire de cette
dernière ligne a pour valeur — ; ce qui conduit à
pour l’équation de la tangente au point donné M\
En faisant disparaître le dénominateur a'y\ l’équation devient
ou
puisque
à1 y' y -+■ b7 x' x = h7 y” -h b7x'7, a7y'yy- b1 x' x = a7 b7, a- y'* y- b’x'7 — u-b’. ‘
Le coefficient angulaire de la tangente n’ayant qu’une valeur, on en conclut qu’on ne peut mener qu’une tangente à l’ellipse par un point pris sur la courbe.
114. On peut démontrer, comme pour le cercle, que la droite ‘dont l’équation est
a tous ses points hors de l’ellipse, à l’exception du point dont les coordonnées sont eh supposant, toutefois,
que
En effet,, si l’on retranche de la seconde équation a7 y'7 y- b7 x'7 — a7 b7, le double de la première , c’est-à-dire
la.7 y' y y- 1 b7 x' x — la7 b7,
il vient
lti ( y > — a y' y) + b7 [x'7 — a x' x) — — a7 b7.
. '• DK l'ellipse. 1 85
Ajoutant, de part et d’autre , a* y* + l>* x*, ou obtient a 7 (y' — y)‘ + b‘ ( x ' — x)J= a1 y1 -t- b2x‘ — a‘b‘.
Ou voit, par cette équation, que pour tout point autre que celui dont les coordonnées sont x' ,y' , la quantité
est plus grande que zéro ; tous les points de la droite n1 y' y 4- b1 x' x = a1 b -,
à l’exception de celui qui a pour coordonnées x', y', sont donc situés hors de l’ellipse.
11.5. En représentant par x le coefficient angulaire de la tangente, on 4 la formule
Cette formule fait voir que si , par le centre de l’ellipse, on mène une droite M'AN ( fig . 74), qui rencontre la courbe aux points M', N, les tangentes en ces points sont parallèles; puisque, en passant du point M' au point A , les coordonnées ne font que changer de signe, et qu’alors le coeffib‘xr
cient angulaire - reste le même.
Au moyen de la môme formule, 011 reconnaît comment la tangente s’incline sur le premier axe b' B.
En efïet, au point B, y — o, x'— a, ce qui donne x = 00 ; dans ce cas, la tangente est perpendiculaire au premier axe. En allant du point B au point IJ, x' diminue et y' augmente; par suite, la valeur numérique de x devient de plus en plus petite; donc l’angle obtus formé par la tangente avec l’axe des x est de plus en plus grand. Au point T), où l’on a
la valeur de a est nulle. La tangente en ce point est parallèle à BB'.
l86‘ • CHAPITRE- NEUVIÈME.
116. Le point T (Jig. 7-5), où la tangente rencontre l’axe desx, s’obtient en supposant y = o dans l’équation de la droite ; on trouve
x ou AT = — •
Cette valeur, étant indépendante du second axe , est constante pour toutes les ellipses , qui ont le même premier axe. Elle convient donc à la éirconférencc décrite sur ce premier axe comme diamètre. On déduit de cette propriété un moyen géométrique pour mener une tangente à l’ellipse en un point M donné sur la courbe. Il suffit, après avoir prolongé l’ordonnée MP du point de contact jusqu’à sa rencontre en N avec la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre , de tracer la tangente INT, de la prolonger jusqu’au point T où elle coupe l’axe des x , et de joindre ce dernier point au point donné M , par la droite MT
La même construction s’appliquerait au second axe, car la distance Al est indépendante de a.
117. D’aprèsla définition générale donuée (n° 65, p. 93), la sous-tangente est la partie TP ( fig . y5 ) de l'axe des x, comprise entre le pied de l’ordonnée du point de contact et le point de rencontre de la tangente avec ce meme axe des x.
Pour obtenir cette distance, il faut, de AT = —.•> retran-
cher AP= x'\ on a alors
INous devons faire observer qu’il existe une sous-tangente
relative à l’axe des y , et qui a pour valeur
La sous-tangente TP est susceptible de croître de zéro à l’infini. Pour x' — ±« elle est nulle, et pour x' = o elle devient infinie. On en peut dire autant de la sous-tangentc relative à l’axe des y .
DE L'ELLIPSE. 187
118. Joignons le centre de la courbe au point de contact par la droite AM {fi g- 75), cette droite aura une équation de la forme
y = al x.
Le point M ayant pour coordonnées y', x', on doit avoir
y= a'x', d’où a! =—■
En déterminant l’équation de la tangente, nous avons trouvé
aV’
a désignant le coefficient angulaire de la tangente. Si l’on multiplie les deux valeurs précédentes l’une par l'autre, on obtient
D’où l’on conclut que le produit des tangentes a, a', reste le même, quelle que soit la position du point de contact.
119. On aura la valeur de la tangente de l’angle AMT {fi g- 75), formé par la tangente et la ligne menée du centre au point de contact, en remplaçant, dans la for-r mule
ce — u!
langAMT =
° 14-aa
x et a par leurs valeurs. En ellécluaut le calcul et ayant égard à la relation
on trouve
tang AMT =
En prenant, ce qui est permis, les abscisses sur le grand axe, on doit regarder « comme plus grand que b. Tant que
Cil WITRE K K U V r MME.
le; point de contact restera dans l’angle des coordonnées positives, la valeur précédente sera négative, et l'angle A MT sera obtus. Les hypothèses x' = 0, y' = 0, rendent infinie la valeur précédente; d’où il résulte qu’aux extrémités des axes et seulement en ces points, la tangente est perpendiculaire à la ligne menée du centre au point de contact. 11 est facile de voir ce qui arrive lorsque les coordonnées x', y', ont des signes contraires.
120. Proposons-nous de trouver l’équation delà tangente menée par un point donné hors de l’ellipse. Désignons par x", y ", les coordonnées de ce point , et représentons toujours par x\ y\ celles du point de contact.
L’équation de la tangente est, comme on l’a vu,
Les inconnues du problème sont les coordonnées x\ y' , du point de contact. Pour les obtenir, nous ferons remarquer qu’elles doivent satisfaire, en même temps, à l’équation de la tangente et à celle de la courbe : ce qui conduit, pour les déterminer, aux équations
Dans l’équation (1), prenons la valeur de y' en fonction de x' , ctportons-la dans l'équation (2), nous arriverons à une équation du second degré en x ' qui donnera deux valeurs pour cette inconnue. Mettant ces valeurs dans l’équation (x), nous aurons les valeurs correspondantes de y'. Les calculs effectués nous conduiront aux formules
1 ~ ~ a7y"7-yb7x"7 ’
, />■ (<7J y" qp x" \J a7 y"7 4- b: x"7 — à’ b7 )
r — “ ’ a7y"7-yb'x"7
DE L KI.I.It'SE.
tHtj
Quand le point donné est hors de la courbe, on a a- y"7 -+- b 1 x"‘ — a‘ b7 o ,
et , par suite , deux systèmes de valeurs réelles pour x' et y ' . D où l’on doit conclure qu’il v a deux tangentes.
Si le point donné est sur la courbe, la quantité
est nulle; on n'a plus qu’une solution x' = xt', y’ —y". Donc, il n’y a plus qu’une seule tangente.
Enfin, lorsque le point donné est intérieur, la quantité
rfy"1 -h b‘x"'—à1b'
est négative, les valeurs de x‘ et dey ' sont imaginaires, et, par conséquent, on ne peut mener aucune tangente.
121 . ]\ous allons donner de la tangente une équation indépendante des coordonnées du point de contact, et qui , dans certains cas, présente plus d’avantage que celle que nous avons fait connaître.
L’ellipse étant rapportée à son centre et à ses axes, on sait que l’équation de cette courbe est
Soit y=mx-T-n l’équation d une droite quelconque; si l’on suppose que cette équation et la précédente existent simultanément, et qu’on élimine y entre elles, l’équalion résultante
( 2 ) ( a,m't -4- b7)x7 -t- 2 a7 mnx + n! (n! — b7) = o
aura pour racines les abscisses des points communs aux deux lignes. En supposant égales les deux racines de celte dernière équation, on exprimera que la droite devient tangente à la courbe. La condition d’égalité des deux racines est , comme on sait ,
. «• ru 7 u- =r a7 ( a* m* -h b1) ( « •' — b7).
icjo chapitre neuvième.
Oii en tire
«’ =z ti*m‘ -f- b' ; d’où n = ± \jà! m'- 4- b‘, et, par suite,
y — mx ± y/<7J/w’4- b*.-
En prenant le radical successivement avec le signe 4-, et le signe — , on aura les équations de deux tangentes parallèles, dont les ordonnées à l’origine sont égales et de signes contraires.
Au moyen d’un calcul semblable à celui du n° 59 , page 83 , on trouvera , en nommant x', y\ les coordonnées du point de contact,
, (Om , b 1
D’où l’on tire
En substituant ces valeurs dans l’équation y — mx 4- n , on trouvera
Ce qui est l’équation de la tangente, obtenue n° 113.
122. Cherchons, maintenant, l’équation de la normale, en supposant connues les coordonnées du point de contact.
En désignant par x', y', ces coordonnées, l’équation demandée est de la forme
Comme la normale doit être perpendiculaire à la tangente, on a '
a étant le coefficient angulaire de cette dernière, ligne. L’é-
DE L ELLIVSE.
quation de la normale est done
Pour avoir le point où la normale rencontre Taxe des x, nous ferons y — o dans l’équation précédente , ce qui donnera (/7g. 75)
x ou AN = x >
En supposant que B' B représente toujours le grand axe, la distance AN est de même signe que x\ c’est-à-dire que le point N et le point P sont toujours d’un même côté du centre.
L’hypothèse x'= o donne AN = o , la normale passe alors par le centre. Si l’on fait croître x' depuis o jusqu’à a, qui est son maximum, la distance AN augmentera de zéro
Si donc 011 prend
AN' = = (g + b)[a — b) ,
le point de rencontre de la normale avec le grand axe ira en se rapprochant de N', à mesure que le point de contact se rapprochera du sommet B. De sorte que l’on pourra prendre le point de tangence assez voisin de B pour que la distance NN' devienne moindre que toute quantité donnée.
La sous-normale NP a pour valeur — — — On l’obtient en prenant la valeur de ( x ' — x) correspondante ky = o.
123. Proposons-nous de mener une normale par un point pris hors de la courbe.
Soient x", y", les coordonnées du point donné; en désignant toujours par x\y\ celles du point de contact, lé-
i92 chapitre neuvième.
quation de la normale sera
Il faut actuellement déterminer ,i y'. Pour y parvenir, nous exprimerons que la normale passe par le point donné, et que le point de tangence est sur la courbe, ce qui conduira aux deux équations ; -
«V’-f- — a-bK
En éliminant y ' et remplaçant a~ — />- par c*, on obtient
c1 xJk — jaV x'x'1
-Jra'l(n'‘x"- -+- b‘ y"1— c*) xH -K 2«‘c3 x'V — a‘x"3 x= o.
L’équation (3) fournira quatre valeurs de x', et la substitution de ces valeurs dans ( i j déterminera les valeurs correspondantes de y'.
Pour chaque solution réelle des équations (i) et (3),' l’équation (a) donnera une normale passant par le point x", y". Le problème peut donc admettre quatre solutions.
Le dernier terme de l’équation (3) étant toujours négatif, x' a au moins deux valeurs réelles, ce qui apprend que le problème admet au moins deux solutions réelles.
Quand le point (.x", y") est sur l’axe des y,x" est nulle , l’équation (3) donne deux valeurs de x' égales à zéro, ce qui détermine deux normales passant par le centre; et, selon que les autres valeurs de x' seront réelles ou imaginaires, on pourra mener quatre ou deux normales.
Lorsque le point (x",y") est lé centre , on a
l’équation (3) donne .
DE t ELUPSE. 1C)3
Les valeurs correspondantes de y' déduites de l’équation (2) sont
y'=±b, y'=±io;
ce qui détermine les sommets D, D', B, B' (fig. 75) , de l’ellipse. Et, en effet, les droites AD, AD', AB, AB', sont respectivement perpendiculaires aux tangentes à l’ellipse, menées par les points D, D', B, B'.
Pour résoudre géométriquement le problème , nous regarderons x', y', comme des variables dans les équations (1) et (2). L’équation (2) est celle de l’ellipse donnée, et l’équation (tj , qui peut être ramenée à la forme
représente une hyperbole passant par le centre de l’ellipse, qui est l’origine des coordonnées.
Comme cette dernière équation est vérifiée par le système x' = x"i y' —y", il en résulte que l’hyperbole contient le point donné.
La branche d'hyperbole qui passe parle centre rencontre toujours l’ellipse en deux points. Quant à l’autre branche, elle peut couper l’ellipse, lui être tangente, ou n’avoir aucun point commun avec elle.
Dans le premier cas, le problème a quatre solutions; dans le second, trois; et dans le dernier, deux seulement.
L’hypothèse x!'— o, introduite dans l’équation de l’hyperbole , donne
/ b* yn .
équation qu’on décompose en x — o, y' — — i et qui
représente un système de deux droites, dont l’une est l’axe des y, et l’autre une parallèle à l’axe des x. La première détermine les points D et D'. Quant à la seconde , elle peut cire sécante, tangente, ou tout à fait extérieure; dans le
premier cas, elle fournira deux nouvelles solutions, dans le second une seule , et enfin , dans le dernier, elle n’en donnera aucune. •
En faisant à la fois x" = o, y" — c’est-à-dire en plaçant le point donné au centre de l’ellipse, l’équation (4 ) se réduit à
Cette dernière équation est vérifiée par x' — o, oujy ' = 0. On trouve, alors, les deux axes coordonnés qui déterminent les quatre normales AB, AB', AD, AD'.
124. Nous allons faire connaître des relationsiremarquables qui existent entre la direction de la tangente et celles des rayons vecteurs menés au point de contact.
Soient MT (Jig . 76) la tangente à l’ellipse , et FM , F'M, les rayons vecteurs menés au point de contact. En désignant toujours para;', y ', les coordonnées du point de tangence M , et en représentant par a.' le coefficient angulaire de FM , on aura
Quant au coefficient angulaire de la tangente , il est
Or, on a
tang FMT =
— b' xr> — <0 y'' -+- b' ex'
a 1 x' y' — b 2 x' y' — a 1 cy'
En remarquant-que
C‘t UUC
il vient
Ut L Ul.l.lPSK.
ti‘ — b1 — r3.
tang FMT =
— à' b 3 -f- b' ex1 c\v' y — n' <y
b- (ex1— a- ) b‘
C)J (ex' — a ’) çÿ
Pour avoir la tangente de l'angle F'MT, il suffit de remplacer c par — c, ce qui conduit à
tang F' MT = — •
On voit par là que les angles FMT, F'MT, sont supplémentaires. Mais F'MT a pour supplément F'MK; donc;
FMT = F'MK.
En menant la normale MX, ou reconnaît immédiatement qu 'elle divise en deux parties égales V angle des rayons •vecteurs, puisque les angles FMJN, F'MN, sont les compléments des angles égaux FMT, F'MK.
On pourrait démontrer directement l’égalité des angles FMN , F'MN , par un calcul semblable à celui qui précède. Cette égalité peut être encore établie en démontrant tjue les segments FN, F'N, sont entre eux directement comme les rayons vecteurs FM, F'M. Les deux segments FN, F'N, s’obtiennent en cherchant la distance AN au moyen de l’équation de la normale.
125. Les propriétés précédentes fournissent une construction pour mener une tangente à l'ellipse par un point donné.
Supposons d’abord le point donné, M, sur la courbe
(fl8- 76)-
On mènera les deux rayons vecteurs FM, F'M; on prolongera l’un d’eux, F'M, d’une longueur MH égale à l’autre MF, et l’on joindra le point F au point li par la droite FH. En abaissant du point M une perpendiculaire MT sur FH,
on aura la tangente. E11 eiFet, d’après celte construction, le triangle FMH est isocèle, les angles FMG, HMG , sont égaux; de plus, HMG — F,MK. ; donc FMG = F' MK, donc MT est tangente.
11 est d’ailleurs facile de voir que cette dernière droite a tous scs points hors de la courbe, excepté le point M. En elfet, si l’on prend sur cette droite un point quelconque T, . qu’on le joigne aux deux foyers par les lignes FT, F'T, en menant HT on aura
F' H < F'T -t- TH, d’où 2«<F'T+FT,
puisque
F' H = 2 « et TH = FT.
Donc le point T est extérieur à l’ellipse.
Supposons maintenant que le point donné, T, soit extérieur à l’ellipse. Si le problème était résolu, et que MT fût la tangente, en menant par le foyer F' la ligne
F' MH =
et en joignant FH, la tangente serait perpendiculaire sur le milieu de cette droite, et les distances TH, TF, seraient égales. Le point H est donc déterminé par la rencontre de deux circonférences décrites, l’une du foyer F' avec un rayon égal à 2 a, l’autre du point donné T avec un rayon égal à TF. Ce point, H , étant obtenu, on le joindra au foyer F, et du point T on abaissera une perpendiculaire sur la ligne de jonction; cette perpendiculaire sera la tangente, et le point M , où elle rencontre F'H , sera le point de contact.
Deux circonférences pouvant se couper en deux points, il est possible que le problème admette deux solutions : c’est ce qui arrive quand le point T est extérieur à l’ellipse.
En effet , on a
F' T < FF' -t- FT , et, à plus forte raison,
F'T < 2 a 4- FT.
Oii a aussi
DK L KL1.1P.SK.
F' T 4- FT > 2 a, ou F'T > 2 a — FT.
I.a distance des centres, F'T, est donc plus petite que la somme et plus grande que la différence des rayons i a, J']'. Par conséquent, les cercles se rencontrent en deux points, et, par suite, le problème a deux solutions.
Lorsque le point, T, est sur la courbe, les cercles décrits se touchent intérieurement, la distance des centres étant égale à la différence des rayons.
Si le point donné est intérieur, on voit facilement que la distance des centres est moindre que la différence des rayons; l’un des cercles est tout entier dans l’autre, et le problème n’admet aucune solution.
Remarque. — Puisque FG = GH ( Jig . 76) et que AF= AF', la droite AG est parallèle à F'H, et en est la moitié. Or, F'H = 2 a, donc AG = a. Il résulte de là que le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées des foyers d’une ellipse sur les tangentes , est une circonférence de cercle ayant pour diamètre le grand axe de la courbe.
126. Si des foyers F, F' {Jig- 77), on abaisse des perpendiculaires FG, F' G', sur une tangente quelconque MT, le produit de ces perpendiculaires est égal au carré de la moitié du second axe.
En effet, en menant, par le centre et le foyer F, des parallèles à la tangente MT, jusqu’à la rencontre de F'G' en L et ]N , on aura
FG = LG'— LN = LG'— LF',
F'G'= LG'-I- LF'.
Faisant le produit de FG par F'G', on obtient
Or, dans le triangle rectangle LAG', on a
LG'== AG' — AL = a7 — ÀL*.
Le triangle F' AL donne
LF' =ÂF’ - ÂL = c7 — AL ,
don
FG X F'G'= e7 = b7.
Des diamètres.
127. Nous avons dit qu’on nomme diamètre le lieu géométrique des milieux d’une suite de cordes parallèles menées sous une direction primitive quelconque. Appliquons le calcul à cette définition.
Nous supposons toujours l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes. En menant une corde quelconque MN [fig- 78), son équation sera
Si l’on combine cette équation avec celle de l’ellipse
a7 x‘ 4- b‘ xr= a 7 b 7 ,
les valeurs de x et de y seront les coordonnées des points communs aux deux lignes. L’élimination de y entre les deux équations donne
équation dont les racines sont les abscisses des extrémités M et N de la corde. L’abscisse de son milieu est
dë a b7+ a7'P
En portant cette valeur dans l’équation de la corde , on
DE L ELLIPSE
îfc-i
i rouve pour l’ordonnée correspondante,
Si1
è3 «3 dJ
Si l’on prenait une seconde corde parallèle à MÎN , son équation ne différerait de la première que par l’ordonnée à l’origine; d’où il résulte qu’en éliminant 6 entre les équations (t) et (a), on aura une relation qui conviendra aux coordonnées des milieux de toutes les cordes. L’élimination s’effectue en divisant l'équation (a) par (i); le résultat est
Cette dernière équation est donc celle du diamètre relatif aux cordes dont le coefficient angulaire est d, ce coefficient d étant d’ailleurs quelconque.
On conclut de l’équation (3) que les diamètres de l’ellipse sont des lignes droites qui passent par le centre.
Réciproquement, toute droite menée parle centre est un diamètre, puisqu’on faisant passer d par tous les états de grandeur, le coefficient dex, dans l’équation du diamètre, prend toutes les valeurs possibles , positives ou négatives.
128. Il existe une relation remarquable entre la direction d’un diamètre et celle des cordes qu’il divise en parties égales. Désignons toujours par y=dx-(- S l'équation d’une corde quelconque, et supposons que y=â'x soit celle du diamètre correspondant; on a, dans ce cas,
" rt’d’
d’où l’on tire
200 CHAP1TKE NEUVIÈME.
relation qui fait connaître une (les tangentes â ou à', au moyen de üautre.
On peut déduire plusieurs conséquences de cette relation :
i°. Si par l’extrémité L ( fig . 78) d’un diamètre on mène une tangente, LT, à la courbe, et qu’on nomme a. la tangente de l’angle LTX, on aura (n° 118, page 187)
ad —
Donc
uo — <
d’où
Par conséquent , les cordes quun diamètre divise en parties égales sont parallèles à la tangente menée par l’extrémité de ce diamètre.
