SS

par suite,

SS'= SS", d’où S'=S".

11 résulte de là que deux diamètres dont les équations sont

DE L ELLIPSE

aoi

et pour lesquels on a la relaiion (4) , sont tels que chacun d’eux divise en parties égales les cordes parallèles à l’autre. A cause de cette propriété, oh les nomme diamètres conjugues.

Des cordes supplémentaires .

129. On nomme cordes supplémentaires, deux droites menées des extrémités d’un diamètre quelconque à un même point de la courbe. D’après’ cette définition, MN, MN' ( fig . 78) sont des cordes supplémentaires. Ces cordes jouissent de plusieurs propriétés remarquables que nous allons faire connaître.

En désignant par x', y', les coordonnées du point N, celles du point N' seront — x', — y' \ et si, en outre, on représente les coordonnées du point M par x, les équations des cordes MN, MN', seront respectivement

X — y=y(x — x'), y -hy'= y' (x + x').

y, y', étant les tangentes trigonométriques des angles formés par ces droites avec l’axe des x.

Des équations (1) et (2) 011 lire

d’où

Oi •, les points M, N, appartenant à l’ellipse, on a, entre leurs coordonnées, les relations

(jr* — yn) -t- /)’ ( x - — .r'1 ) es, o ,

et, par suite.

Doue ,

r.H.VP IT 11 E IV E V V I K M K .

11 résulte de là que le produit des tangentes des angles formés par deux cordes supplémentaires avec l'axe des

abscisses, est égal à la quantité constante — —•

Réciproquement, si la condition (3) est remplie par deux cordes qui passent aux extrémités d'un diamètre, ou par deux cordes menées par un même point de la courbe : ces cordes seront supplémentaires.

i°. Supposons qu’elles passent par les extrémités N , N', d’un diamètre. Soit G leur point de reucontre. En joignant IN' au point M, où KG coupe la courbe, on aura

tangMHX. tang MH X = — — •

Or, par hypothèse, on a

tani'MHX.tang GH'X := — — •

tang MH' X = tang GH" X ;

donc N'G et N'M se confondent.

2°. Supposons qu’on ail

tang MHX.Iang MH X = — — j

les points N et N' seront sur un même diamètre.

En effet, si AN' n’est pas le prolongement de AN, soit ANff ce prolongement; ou devra avoir

tang MH X. tang MKX — — — :

d’où

tang MH' X = langMKX.

Ce qui apprend que AjN" se confond avec AN'.

1! résulte de ce qui précède que :

Si l’on a deux cordes supplémentaires relatives à un premier diamètre quelconque , les parallèles à ces cordes menées par les extrémités d'un second diamètre sont aussi supplémentaires par rapport h cet autre diamètre.

IdO. En représentant par a et a' les tangentes des angles formés avec l’axe BB' (fig. 79), par la tangente MT, et le diamètre MM', on a trouvé (n° 118)

Et comme (n° 129) 77'= — — » il eu résulte

Donc, si a.' — 7', on a

c’est-à-dire que si l’on mène un diamètre MM' au point de contact, en tirant, par l’extrémité d’un diamètre quelconque, la corde B' H parallèle à MM', la corde supplémentaire BH sera parallèle à la tangente.

11 est facile, d’après cette proposition, de mener à l’ellipse une tangente en un point donné sur la courbe, ou parallèlement à une droite donnée.

Dans le premier cas, on joindra le point M de contact au centre-, par l’extrémité B' d’un diamètre BB', on mènera la corde B'H parallèle à AM; en joignant B1I, il suffira de conduire par le point donné M une parallèle à cette seconde corde.

Dans le second cas, par le point B on mènera BH parallèle à la droite donnée, 011 joindra B'H, et en tirant le

diamètre MM' parallèle à B' H, les extrémités M, M', de ce diamètre seront deux points qui répondront à la question. Il suffira de mener par ces points des parallèles à la droite donnée.