Quand deux diamètres ayant pour équations

sont conjugués, on a entre d, ô', la même relation qu’entre y, y' (nns 128 et 129). Donc, (feux diamètres parallèles à deux cordes supplémentaires sont toujours conjugués. Réciproquement, deux diamètres conjugués sont, toujours parallèles à deux cordes supplémentaires .

11 est facile, d’après cela, de construire deux diamètres conjugués qui forment entre eux un angle donné, quand l’ellipse est tracée et. que le centre de la courbe est connu.

On tire un diamètre quelconque BAB' (fig. 79) sur lequel on décrit un segment BHB' capable de l’angle donné, et par le point H où le cercle coupe l’ellipse, on mène les cordes supplémentaires HB, H B'. En conduisant par le centre, des parallèles NN#, MM', à ces cordes, on aura deux diamètres conjugués qui répondront à la question.

Le cercle décrit coupe l’ellipse en un second point H' qui détermine une seconde solution du problème.

132. Dans l’ellipse, les angles des cordes supplémentaires, et, par suite, les angles des diamètres conjugués sont renfermés entre certaines limites que nous allons faire connaître.

Nous supposerons , ce qui est permis, que les cordes soient menées par les extrémités du grand axe BB' (Jig- 79).

Soient BH, B'II, deux cordes supplémentaires quelconques. E11 nommant y, x , les coordonnées du point H ,

DE L ELLIPSE

tangHBX= — - — et tangHB'X^r — — — ;

par suite,

x — « x H- n 2. fl v

tang B' HB = = f •

b >■’ rJ •+■ x1 — nJ

x1 — ir

Le point H étant sur la courbe, on doit avoir fl1 y7 -+- b'x'z^a1 /»’.

On tire de cette équation .

ce qui donne

tangB'HB = —

(«J — p).jr

Puisque BB' est le grand axe, si l’on suppose le point H, comme nous l’avons fait, situé au-dessus de cet axe, la valeur précédente sera négative, c’est-à-dire que l’angle BHB' est obtus.

Celte valeur prise, abstraction faite de sou signe, atteint son minimum quand y—b\ dans ce cas, le sommet de l’angle est placé à l’extrémité I) du second axe , et les cordes supplémentaires sont BD, B' D. L’angle obtus BDB' est donc le plus grand, et son supplément BDK le plus petit angle que puissent faire deux cordes supplémentaires. Pour l’angle maximum, on a

tang BDB'= —

On voit facilement que 1 angle minimum des cordes supplémentaires de l’ellipse est égal à DBD'.

De part cl d’autre du petit axe DD', il y a toujours deux points H , H', pour lesquels y a la même valeur. Il y a donc

ao6

deux points pour lesquels les angles HH B', HH' B', sont égaux. D’ailleurs, au-dessus de BIV il n’existe que deux points qui aient la même ordonnée; donc, on ne peut avoir que deux systèmes de cordes supplémentaires formant entre elles un angle donné. Il en est de même des diamètres conjugués.

Ces deux systèmes de diamètres conjugués se réduisent à un seul: i". lorsque les diamètres sont parallèles aux cordes BD, B' D ; -2°. lorsqu’ils sont les axes de la courbe.

11 résulte de ce qui a été dit, qu’il n’existe pas de diamètres conjugués formant entre eux un angle plus grand que BDB', ou moindre que DBD'.

1 33. Puisque les axes de l’ellipse ne sont autre chose que des diamètres conjugués rectangulaires, on les construira, quand ou connaîtra le centre de la courbe, en décrivant une circonférence (J‘g- 8o) sur un diamètre quelconque, en joignant aux extrémités de ce diamètre un des points de rencontre de la circonférence avec l’ellipse, et en menant par le centre des parallèles aux cordes ainsi obtenues.

D’après la symétrie de l’ellipse par rapport aux axes, la circonférence décrite du point A comme centre, avec un rayon quelconque AC, doit couper la courbe en quatre points placés deux à deux symétriquement par rapport à chacun des axes, et, par suite, la figure HCH'C' doit être un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. On obtiendra donc les axes en menant, par le centre, des parallèles aux côtés du rectangle.

Dans les constructions précédentes, nous avons supposé connu le centre de l’ellipse; ce point est facile à déterminer quand la courbe est tracée : il suffit, en effet, de mener deux cordes parallèles GK, G' K', de joindre leurs milieux M , M', par une droite CC' qu’on termine à la courbe , et de prendre le milieu A de cette droite.

DE L ELLIPSE

La ligne CC' est un diamètre, puisqu'elle divise deux cordes parallèles en deux parties égales; on sait d’ailleurs que tous les diamètres passent par le centie, et y sont divisés en deux parties égales.

Ellipse rapportée à ses diamètres conjugués .

13-i. INous avons employé jusqu’à présent l’équation (l) a,y,-+- b'x'1— a7 b1,

qui est celle de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes. Si, en rapportant cette courbe à des axes obliques, son équation conserve cette forme, c’est-à-dire ne renferme que les carrés des variables et un terme indépendant, ces nouveaux axes seront des diamètres conjugués, puisque chaque valeur de l’une des coordonnées donnera pour l'autre deux valeurs égales et de signes contraires. On voit par là qu’on passera de l'équation (i) à l’équation aux diamètres conjugués, en cherchant les systèmes d’axes pour lesquels l’équation conserve la forme

fl1/3 ■+■ b1 X* — a ’ à1.

Prenons donc les formules qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un système d’axes obliques de même origine. Ces formules sont (n° 76, page 108)

x == x' cos a -b y' cos a% y =r x' sin a y' sin a! .

Substituant ces valeurs dans l’équation (i) , on obtient

Î a’ sin’ a' -4- A’ cos’ a'

y‘-h 2 a’ sin a sin a'

j ar'j'+fl’sin’a

-1-2. A’ cos a cos a'