I -t- A’ cos’ a
Pour que l’équation (2) prenne la forme (1), il faut et il suffit que les indéterminées « et a' satisfassent à la condition
(3) n’ sin » sin eé-t- à’ cos et cos a' = o.
nr: i. m.i.irsk, •-» 1 1
en multipliant les valeurs de a'* et /••'* l’une par l'autre, il vient
a' sin’a sin'a'-t-è1 cos1 a cos 'a! -\-a'b‘ (sin1 a' cos’a+sin1 a cos1 a' ) Mais , entre oc et a' on a
à1 sin a sin a' + è1 cos a cos a' = o ; en élevant au carré, on en déduit
«• sin’ a sin’ a! -f- b ‘ cos1 a cos1 a'= — i a1 è1 sin a sin a' cos a cos a'. Portant cette valeur dans le produit a '* b'*, on trouve
n,i1(sin,«' cos’ a -t- sin ' a cos1 a' — ?. sin a sin a' cos j cos a' j
(sin a' cos a — sin a cos«')’ sin1 (a' — • a)
Un conclut de là
«' b' sin (la — a) — ab .
L’angle (oc' — «) est celui que font entre eux les diamètres conjugués. Par conséquent, a' b' sin (a' — a) est la surface du ptarallélogrammè construit sur les demi-diamètres conjugués; donc cette surface est constante et égale au rectangle ab des demi-axes. Ce qui démontre le théorème énoncé.
Thêorèmk 11 . — Dans l'e/li/jsç , la somme des carrés de lieux diamètres conjugués est constante et égale à la somme des carrés des deux axes.
En reprenant les équations
(1) flJ sin a sin a' + b1 cos a cos «' = o ,
.ijA’
a1 sin1 a -t- b1 cos1 a a 1 b*
a1 sin1 «' -+- b1 cos' a'
on devra éliminer cuire elles les angles y. et a' . Pour faire cette élimination , on porte d'abord dans l’équation (2) les valeurs de cos* a et de sin! « , tirées successivement de la relation
et l'on a
sin1 a -+- cos- a = 1 ,
sin3 a =
b-{n‘ — fl'3) fl'3 (fl3 — b1)'>
cos' a =
fl3(fl'3 — b‘) a"1 (a1 — • b 3)
Comme on passe de l’équation (2) à l’équation (3) en changeant a' en b', et a en y.1, on pourra déduire sin* a' et cos2 a' des valeurs précédentes, en y changeant a' en b' ; on obtient de cette manière
sin’ a'
i3 ( fl3 — b'1) //3(n- — b
COS3 a'
fl3 (b"-~ b‘) b” (a' — é3)'
Si l’on prend maintenant l’équation (1), qu on transporte le sccoud terme dans l’autre membre , et qu'on élève
an carré, on trouve
sin3 a sin3 a — b * cos3 a cos3 a' .
Remplaçant les lignes trigouoinétriques par leurs valeurs, et faisanlles simplificalionsqui se présentent d’clles-mèmes, on a successivement :
(a- — a'1) (n3 — è'3) = («’3— b1) (è'3 — IP), a‘ — fl3 fl'3 — n3 b'*~ ' — fl'3 b7 — b'1 b'-f- b*.
«•— l>'= fl'3 (n3 — (P) + b"1 (fl3 — IP), a3-+- è3 = fl'3+ b‘\
Ce qu’il fallait démontrer.
Première remarque. — Le parallélogramme . ADGC {fis. 81) construit sur deux demi-diamètres non conjugués est plus petit que le rectangle ab des demi-axes.
Pour le démontrer, menons le demi-diamètre AD' conjugué de AI), et formons le parallélogramme ADHD'. Ce
PE 1. EI.I.IVSR. 901)
L’équation (4) étant colle qui lie entre elles les directions de deux cordes supplémentaires, il en résulte que fieux diamètres conjugués sont toujours parallèles à deux, cordes supplémentaires ; et réciproquement, que deux diamètres parallèles à deux cordes supplémentaires sont conjugués.
L’équation (3) est satisfaite parles systèmes de valeurs • sin a = o , cos a' = o , et sin a' = o , cos a = o ;
or, dans ces deux hypothèses, on trouve les axes de la courbe; il en devait être ainsi, puisque les axes sont des diamètres conjugués. On sait, de plus, que ce sont les seuls diamètres conjugués rectangulaires; on peut, de nouveau, s’en assurer comme il suit :
En posant «' — a. = go°, on a
sin a'= sin (90“-+- a) = sin (90° — a) = cosa, cos a'= cos (go° -+- a) = — cosjgo0 — a) = — sin a. Ces valeurs étant portées dans l’équation (3) donnent . («’—•■ b1) sin a cos a. — o.
Comme a est dilïércnt de b , 011 ne peut satifaire à celte dernière équation qu’en faisant
sin a = o , ou cos a = o ;
hypothèses qui font retrouver les deux axes de l’ellipse.
136. Examinons s’il existe dans l’ellipse des diamètres conjugués égaux. Pour cela, égalons les valeurs do «'* et h '* ; nous aurons
a1 sin’ a -+• è’ cos’ a — a‘ sin' a' -t- b1 cos’ a .
Remplaçant cos’ « par 1 — sin’ a , et eos* «' par 1 — sin* a', celte équation devient
(«’— b-) (sin’ a — sin’ a' ) = o ;
UE L ELLIPSE
21tl
on aura
a 7 (yr 1 y,/7) -H b7 (x'a-h x"a) — a a7 b 3,
ou , parce que x7’ -t- x771 = «%
d'où
Les équations (rn) et («) démontrent le principe énoncé.
Le théorème II (n° 137) se déduit immédiatement de celui qui précède, car on a
Âc’ 4- ÂC,I= y'7 4- x '* 4- y"7 4- x"> = n’ 4- A3 .
