Les équations
fl3 sin a sin a' -+- è3 cos a cos a' = o ,
n3 sin3 a 63 cos3 a’
n! sin3 a' -t- 63 cos3 a' ’
permettent de trouver trois des six quantités a, b, a', 0', a, a.', quand les trois autres sont connues. Toutefois, on les remplace par les trois suivantes, qui en sont déduites :
(1) . tang a . tang a' = — — t
(2) a' b' sin (a' — a )=zab,
Nous traiterons seulement les deux questions qui suivent : Première question. — Etant donnés les axes d’une ellipse et l’angle de deux diamètres conjugués , trouver ces diamètres en grandeur et en direction.
Posons
CIlAPiTllE KKLVIEME.
L’équation (2) donne
2 ab
sin-/
Ajoutant, membre à membre, cette dernière équation a\ee l’équation (3), il vient
Retranchant, membre à membre, les mêmes équations, on trouve
sm 7
Regardant a' comme le plus grand des deux diamètres conjugués, on tire des équations (4) et (5)
/ , 1 ab
= \ / à ! + b1 + - — , sin 7
2 ab
sin 7
et, par suite
, 2 ab
/ ‘ 2ab\
V sm 1 J
2 \ y sin 7 y sin 7 /
Les grandeurs des diamètres étant calculées , cherchons les directions de ces ligues.
De l’équatitm
on tire
d’où
tangV^-^ + ^è’'.
i — tang a. tang 7
DE L ELLIPSE
parallélogramme el le précédent ont une base commune AIJ ; et si l’on prolonge le côté C(i parallèle à AD (et par conséquent à D'H) , le point !M sera le milieu de la corde CC'. Or, les hauteurs des deux parallélogrammes sont MK pour le premier, et D'K' pour le second ; MK étant évidemment plus petit que D'K', il en résulte que le parallélogramme ADGC, formé sur deux demi-diamètres quelconques, est moindre que le parallélogramme construit sur les demidiamètres conjugués, et par conséquent moindre que ab.
La réciproque du premier théorème (n° 137) est une conséquence de ce que nous venons de démontrer.
En effet, supposons que le parallélogramme formé sur deux demi-diamètres soit égal à ab , il faudra nécessairement que ces diamètres soient conjugués, car s ils ne 1 étaient pas, le parallélogramme devrait être moindre que ab.
La réciproque du théorème II n’est pas vraie. La somme des carrés de deux diamètres peut être égale à la somme des carrés des axes, sans que ces diamètres soient conjugués.
En elfet, supposons que AC, AC' {Jig- 82), soient des diamètres conjugués; 011 aura
ÂcV AC' = a2- 1- b ».
Abaissons du point C' une perpendiculaire C'OII sur le petit axe AD. Le demi-diamètre AH sera égal à AC'; il en résultera
AC -+- AH = b %
et il est visible que AC et Ali ne sont pas deux demi-diamètres conjugués.
Deuxième remarque. — Soient AC, AC' {Jig . 82), deux demi-diamètres conjugués quelconques. La somme des carrés des abscisses des extrémités de ces diamètres est égale à or, et la somme des carrés des ordonnées des mêmes points est égale à £s.
DE L ELLIPSE
2ip
Ces deux dernières équations donnent immédiatement
11 = — ( J a'7- 1- b'- 2 it' b' sin 7 ^ a '5 ■+■ è'2 — ^2 n' b' sin 7
b = — ( Ja'3 -4- //* 4- 2 a' b' sin 7 — \/ u'; -+- è'J — 2 n' 6' sin 7 )•
[.a solution est plus élégante quand 011 construit les valeurs
-t- b'1 + 2 a' b' sin 7, -+■ b'3 — 2 a' b' sin 7
de (rt -4— A ) et ( a — b).
Soient GG', HH' (fig- 83), les deux diamètres 2 a', 2 b', conjugués, placés sous l'angle donné y 5 de l’extrémité H menons sur GG' la perpendiculaire UK, et prenons
HE = HE' = a'.
En joignant au centre A les points E, E', les triangles obliquangles A HE, AI1E', donnent respectivement
AK = VHE + AU -t- 2 HE. HK = Vf«'r+ l>'7 ~+Vâ' V sin 7,
AE'= VHË'V AH* — 2 HE'. IIK — \ja'-+ b'2— 2 a’ //sin 7. On a alors
Si Pou prolonge EÀ d’une longueur Al = AE', et si l’oit prend A1'=AE', 011 obtiendra
a a — El, 2 b = Kl'.
Pour déterminer les directions des axes : par les extrémités du premier diamètre GG', on mène des parallèles au second diamètre HH', et par les extrémités de ce dernier 011 mène des parallèles à l’autre; ces quatre parallèles sont tangentes à l’ellipse, aux points G, G', II, H'. Ensuite, du centre A avec a pour rayon, on décrit une circonle-
