CHAPITRE A Eli V I KME

ronce , rencontrant les tangentes MJN , iV N , aux points P, Q. Les perpendiculaires élevées en ces points aux deux tangentes doivent passer par un des loyers, par conséquent leur point de rencontre F est un foyer de l’ellipse. En joignant ce point F au centre, on aura la direction du grand axe BB'. On voit facilement ce qu’il faut faire pour déterminer la position du second axe DD' (*).

139. On a trouvé (n° 135), pour l’équation de I’cllipsc rapportée à ses diamètres conjugués,

Celte équation étant absolument de la même forme que celle qui est relative aux axes, les propriétés indépendantes de l’inclinaison des coordonnées doivent être communes aux axes de 1 ellipse et à ses diamètres conjugués. On peut alors regarder comme démontrées les propositions suivantes : .

t°. Selon qu’un point est situé sur l’ellipse, hors de l’ellipse ou dans l’ellipse, la quantité

est nulle, positive ou négative.

a°. Les carrés des ordonnées parallèles a un diamètre

(*) Les axes BB', DD', sont les bissectrices dos angles formes par les droites AE, AE\ En effet, prolongeons les axes KH', DD', jusqu’à la tangente MN, aux points S, H. Le produit HR X HS dos segments de la tangente, compris entre la courbe et les axes, est égal au carré du demi-diamètre AG parallèle à la tangente (n° ITïD, 5°.'. Donc

HR x HS = HE x HE'.

Par conséquent , les quatre points R, S, E, E\ appartiennent à une mémo circonférence qui a pour diamètre la droite RS perpendiculaire sur le milieu de la corde EK'. Et comme l’angle RAS est droit, cette circonférence passe encore par le point A. De plus, le point S est le milieu de l’arc ESK\ Donc les angles SAE, SAE', sont égaux entre eux ; c’est ce qu’il fallait dépioiilrcr.

DE 1.' ELLIPSE

Remplaçant tanga' par

-t il vient

— !>' tang g -H tang 7 ,

a- tang a 1 — tang a tang 7 *

faisant disparaître les dénominateurs, on obtient l'équation

tang’ a I — - — j tang 7 X tang a -t- - = o,

qui donne

— (n 2 — b2) tang 7 ± J (a1 — b1)2 tang1 7 — la2 b ’

tang a — ' — T ' -

On trouve deux valeurs pour tanga, parce qu'il existe, en général, deux systèmes de diamètres conjugués qui forment entre eux un angle donné.

Pour que ces valeurs soient réelles, il faut qu’on ait

tang’ 7 >

d’où, en valeur absolue,

tang 7 >

2 nb

Quand l’angle donné y est aigu, il doit donc être au moins égal à celui dont la tangente est ■ ; et quand il est ob-

tus, il faut qu’il soit au plus égal à l'angle dont la tangente

est — ^ ~ Ces tangentes sont celles de l’angle mini-

mum et de l’angle maximum des cordes supplémentaires

La condition de réalité des valeurs de a' et b' conduit aux mêmes conséquences.

En effet, on doit avo:r

. . 2 nb

sm 7

DF, L FLLIPSE. 223

On voit que la distance AK = est indépendante de

l’ordonnée y" du point N ; par conséquent , si l’on mène la droite ÏNN' parallèle à l’axe des y, et si , d’un autre point de cette droite, on conduit des tangentes à l’ellipse, la sécante qui déterminera les nouveaux points de contact passera par le point K. Le point K ne pourrait changer que dans le cas où x" changerait. De là résulte le théorème suivant :

T Si de chaque point d’une droite située comme on voudra sur Je plan d’une ellipse, on mène des tangentes à la. courbe , et qu’on joigne les deux points de contact, on aura une suite de sécantes qui passeront toutes par un meme point du diamètre conjugué de celui qui est parallèle à la droite donnée.

Réciproquement, si par un point donné dans le plan d’une ellipse on lire différentes sécantes, et que par les points de rencontre de chaque sécante on mène des tangentes à la courbe , le lieu des points d’intersection de ces tangentes, deux à deux, est une droite parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe par le point donné.