X PP

DE L ELLIPSE

sont entre eux comme les produits des segments que ces ordonnées déterminent sur son conjugué.

ii°. En nommant a le coefficient angulaire de la tangente, et x', y\ les coordonnées du point de contact , on doit avoir

a = “iv’

et pour l'équation de la tangente ,

/ a'i jJ A

La sous-tangentc a pour valeur | — —, — Ji en désignant

par x' l’abscisse du point de contact. On aura , pour la tangente et le diamètre mené au point de contact, la relation

4°. Si y — âx-ho est l’équation d’nne corde quelconque, et y—d'x celle du diamètre qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles, on trouvera

relation qui a lieu pour deux diamètres conjugués, dont les équations seraient y = 6 x , y = d' x , ainsi que pour deux cordes supplémentaires menées aux extrémités d’un diamètre quelconque.

5°. Le produit des segments DG, DH (fig. 84), d’une tangente , compris entre le point de. contact et deux diamètres conjugués AE', AE, est égal au carré du demidiamètre AD', parallèle à la tangente.

Prenons pour axes de coordonnées les droites ADX, AD'Y. Nommons a', //, les droites AD, AD', et désignons par 5, d', les coefficients angulaires des diamètres con-

Digi

1)K L ELI.IPSÈ.

Cette dernière proportion étant indépendante et du nombre et de la grandeur des trapèzes , on en peut conclure que la surface, de l’ellipse est à celle du cercle, décrit sur le grand axe, dans le rapport du second axe au premier.

En représentant par E l’aire de l’ellipse , et par E' celle E b

du cercle , on aura donc — = — Comme E' = tt a1 , on

trouve E = tt ab\ c’est-à-dire que la surface de l’ellipse est égale à celle d’un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre les demi-axes de l’ellipse.

Si a', l)' , sont deux demi-diamètres conjugués comprenant l’angle 0, on sailque ab = a'b' sin 0. Par conséquent, l’aire de l’ellipse en fonction des diamètres conjugués est

E = tt\ ti b' sin 6.

Si l’on voulait calculer un segment quelconque PNN "P” compris entre deux ordonnées perpendiculaires à l’axe RB', en désignant sa valeur par s , et par s' celle du segment de cercle correspondant , on aurait, au moyen du raisonnement qui précède,

- = -> (i ou v = - x s s a n

Ce qui ramène la quadrature du premier segment à celle du second, que la géométrie détermine.

S’il s’agissait du segment P ISP'" N'" (fi g. 88), compris entre un diamètre quelconque B1V et deux ordonnées parallèles à son conjugué, on décrirait d’abord sur BB’, comme diamètre, une circonférence de cercle; ou inscrirait une portion de polygone NN'N^N^ dans le segment d’ellipse, puis on mènerait les ordonnées PN, P'N', P"Nff, etc., de cette courbe, elles ordonnées correspondantes PM , P'M', P"M", etc., du cercle. En joignant les points M, M', M ", M'", par des droites, on forme des trapèzes rectangulaires, correspondants aux trapèzes obliques de l’ellipse. Si l’on

226 r CHAPITRE NEUVIÈME.

abaisse une perpendiculaire SI sur Pj\ , le trapèze PïNP'lN' aura pour mesure