PM 4- FM7 — Q
Le rapport des trapèzes correspondants est toujours le même; on en conclut sans peine, en désignant le segment elliptique par S, le segment circulaire par que
— ■ sin 6, d’où S = S'. ^sinO.
Pour obtenir tonte l'ellipse, on prend S' — et l'on a
S — 7r a' b' sin 0.
DE 1. HYPERBOLE
DE L’HYPERBOLE
De l’hyperbole rapportée à ses axes.
143. Par uije double transformation (le coordonnées, et" en prenant les axes rectangulaires, on ramène (n° 99) l'équation de l’hyperbole à la forme y* — ih1x7 = p.
Lorsque p === o, on a
y,= m,x'1, d’où y — zfc mx.
Dans ce cas, l'équation représente un système de deux droites.
Comme p peut être positif ou négatif, on a à considérer les deux cas suivants :
(i) • yr— /»’.£■’= I>\
La première de ces équations se ramène à la seconde, en remplaçant X par y, y par .r; divisant par m*, et changeant-les signes des deux membres. En effet, on trouve alors
équatiou entièrement- semblable à la seconde, et qui pourrait s'en déduire en mettant dans celle-ci — à la place de
m’i et — à la place de h*.
11 résulte de là qu’il snflit de considérer l’équation (a).
aaS CUAriTlVE DIXIÈME.
144. On voit par la forme de cette équation que l’origine est le centre de la courbe, et que les axes des coordonnées sont aussi des axes de cette même courbe.
Un seul des axes rencontre l’hyperbole. En cllct, y = o donne
et X = o donne
L axe des abscisses coupe la courbe aux points B, B'
{fi g- 8^), situés à une distance du centre égale à — • L’axe
des y ne la rencontre pas, puisque X =*o donne pour y des valeurs imaginaires. *
Si l’on pose — — a, 011 en tire m —-■> ce qui donne,
en substituant dans (2), l’cquation
(3) o'- y* -r b* je* — — a 7 b*.
L’axe BB', égal à an, se nomme premier aae ou axa transvase.
Quoique l’axe des y 11e rencontre pas l’hvperbole, on porte néanmoins sur cet axe les distances AD, AD', égales à A, et la longueur DD' égale à 2 b est ce que l’on convient de prendre pour second axe. .
Les extrémités B, IV, du premier axe, sont les sommets de l’hyperbole.
Il est quelquefois utile de placer l’origine des coordonnées à l’un des sommets. Supposons qu’on veuille la transporter au sommet B, par exemple; on remplacera, dans l’équation (3) , x par (.r H- n), et l’on trouvera facilement
y-— — { 2 rfx -4-x5).
rt‘
DE I. HYPERBOLE
up
Quand h = «, les équations (3) eL ( 4) deviennent
Alors-, on dit que l’hyperbole est èquüatère. Celle dernière courbe est parmi les hyperboles ordinaires ce qu’est le cercle parmi les ellipses.
I io. Discutons maintenant l’équation tr y- — b‘ x*=z — ; crb1.
En la résolvant par rapport à y , il vient
Tant que x est plus petit que a , les valeurs de y sont imaginaires. Pour x = a, ou a y = o; x augmentant jusqu’à -I- oo , y a deux valeurs réelles égales et de signes contraires qui croissent jusqu’à l’infini. Les valeurs positives de x déterminent donc une branche de courbe MBM" (Jig. 89), qui s’étend à l’infini du côté des a: positifs, et qui est symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Les valeurs négatives de x donnent une seconde branche NB' N" entièrement semblable à la première, de l’autre côté de l’axe des y, puisqu’on changeant seulement le signe de x, les valeurs de y restent les mêmes.
Le point M ayant pour coordonnées x et y, le triangle rectangle AMP donne
L’abscisse pouvant croître jusqu’à l'infini, la distance AM peut aussi croitre jusqu’à l’infini. La plus petite valeur de x est a, le minimum de AM est donc AB = a. On conclut de là que l’axe transverse est la plus petite des ligne menées par le centre et terminées à la courbe.
33o CHAPITRE DIXIÈME.
1 40. L équation a4 y* — b~ x* ~ — ns b* donne y1 — ^ =^'(x + a)(x — a). .
Si l’on suppose^ = MP ( Jig . 8y), on aura BP = x — a, B' P = æ -t- « ,
et , par suite ,
MP = — X BP X B' P.
Pour une autre ordonnée quelconque JVI'P', on aurait de même
M'P' = -BP' XB'P';
donc
MP BPx B'P j^rp7 “ BP' X B'P’*
C’est-à-dire que les carrés (les ordonnées de l'hyperbole sont entre eux comme les produits des distances comprises entre les pieds de ces ordonnées et les sommets de la courbe.
147. Pour tout point de l’hyperbole , on a a7 y7 — b7x7 -| - a7 b7 — o.
Quand un point H ( fig- 89) est extérieur, sou abscisse AP est moindre que celle du point M', et son ordonnée est la même ; on a donc
On démontrerait de la même manière que pour un point H; intérieur, on a
t»; 1. HYPERBOLE.
1 18. F. n comparant les équations
n'ly'1 -H t’i’ = a7 b1, à1 y* — b 5x' = — a'1 b',
on voit que l’on passe de la première a la seconde en changeant b* en — lr. Cette remarque trouvera par la suite d’utiles applications.
Des foyers et des directrices.
1 49. Ce qu'on a dit sur les foyers de l’ellipse s applique presque entièrement à l’hyperbole.
Reprenons l'équation
a2 y1 — lr X7— — a 1 b1.
Les foyers sont des points dont la distance à un point quelconque de la courhe est exprimée rationnellement en fonction de l’abscisse de ce point. Désignons toujours par x\ y' , les coordonnées d’un foyer; par x cl y celles d’un point de l'hyperbole, et par d la distance des deux points. xNous aurons
Or, y = - \Jx* — fl5; portant cette valeur dans I expression précédente, elle devient
iî' = x' — ax'x -t- x'5H (x’ — a- ) — y. y' — \/x’ — n‘+y'*.
d?, et à plus forte raison d , ne peut être rationnelle en x
qu’ autant que le terme a y' ~ Jx* — or est nul ; ce qui exige
qu’on ait y o. On trouve alors
Cette expression devant être un carré parfait, il faut que
ce qui conduit à *
x = ± yja1- f- b‘.
L’hyperbole a donc deux foyers placés sur l’axe transverse, de chaque côté du centre , à la distance \/a!-t- ô!.
Pour les déterminer, on élève au point B (fig- 90) , extrémité du premier axe, uue perpendiculaire BG égale à la moitié du second; 011 joint AG; du point A comme centre , avec AG pour rayon, on décrit une circonférence qui rencontre le premier axe aux points F, F' : ces points sont lesfoyers de l’hyperbole.
La distance de l’un des foyers au centre se nomme excentricité de l’hyperbole.
Soit \a* -H As = c; les distances d’un point quelconque, M, de l’hyperbole aux deux foyers F, F', s’obtiendront, en remplaçant successivement x' par-t-c, et — c , dans la valeur de d* ; on trouvera
