L’hyperbole a aussi deux directrices

Prenons du côté-AB (fig. 90) une distance AK = d , élevons au point K la perpendiculaire KL à l’axe transverse. En abaissant d’un point quelconque M de la courbe, la perpendiculaire MI sur KL , et en menant le rayon vecteur FM, on aura

FM a cx — a1 c.

IM x — d cx — cd ^ «

Ce rapport sera constant et égal à -, si l’on prend le point

Kde manière <juecc^ = nî. La conséquence est la même quelle que soit celle des deux branches sur laquelle 011 prend le point M.

Si l’on détermine le point K' de manière que AK'= AK, et si l’on élève la perpendiculaire K'L' à BB', ou reconnaîtra sans peine que le rapport des distances F'M et l'M

est encore égal à -• n a

11 résulte de là qu’en nommant directrices les droites KL, K'L', on pourra dire, comme pour l’ellipse, que tes distances de chaque point de l'hyperbole, à l'un des foyers

et à la directrice voisine de ce foyer , sont entre elles

comme V intervalle des foyers est à l'axe transverse.

153. En partant de cette propriété, on est conduit à la question énoncée (page 180). On a vu que le lieu demandé est une hyperbole quand on a m f> n.

Soient F et KL (fig . 90) le point et la droite donnés; on abaisse du point F la perpendiculaire indéfinie FK sur KL, en prenant ensuite le point B de manière qu’on ait

fb : br ;

ce point appartiendra à la courbe, on pourra supposer FB = m, BK = n. En plaçant l’origine au point B, et en choisissant pour axe des x la droite BF, et pour axe des y la perpendiculaire élevée à cette droite au point B, on obtiendra encore l’équation

n,y',+ (/»’ — /«’).*,•’ — 2 mn (7/ -f- m) x =r o.

Dans le cas actuel, le coefficient ;ts — m5 est négatif, puisque m est plus grand que n. Il convient alors d’écrire l’équation comme il suit : . •

n-y' — ( m- — «’) x1 — 2 mn ( n -4- m ) x — o.

L’hypothèse r = o donne

la courbe rencontre donc l’axe des x aux poiuts B, IV, ce second point étant à une distance de l’origine marquée par

— — -• Si l’on transporte l’origine des coordonnées au milieu A de BB', en remplaçant x par x —

«y — (wj

ll‘ ) x‘ ~ —

lit — u

-, on obtiendra

DF. I. HYPERBOLE

Los valeurs des demi-axes sont

/m ■+■ n = ni \/—

En opérant comme -pour l’ellipse, on a

ffl* //*

V/«'-t-à,= > AF = ». AF X AK = a’.

Ce qui prouve que le point donné F est un des foyers d< l'hyperbole , et la droite KL une de ses directrices.

De la tangente et (le la normale.

1 ri4. En prenant l’équation de l'hyperbole n3y3 — b' x1 — — (0 b',

on est conduit, pour obtenir l'équation delà tangente, à exécuter les mêmes calculs que pour l'ellipse, avec la seule différence que partout b% est remplacé par — b'. Il résulte de là qu’en nommant x\ y' ’, les coordonnées du point de contact, et a la tangente trigonoraétrique de l’angle que forme avec l’axe des x la tangente à la courbe , on aura

I équation simplifiée de la tangente sera

Pour démontrer à posteriori que tous les points de la tangente , excepté le point de contact, sont hors de l’hyperbole,

il faut faire voir (n° 147) que pour tous Ces points l’ex-

pression n’ys — b* x* ■+• a’ A1 est positive.

A cet effet, tirons de l'équation de la tangente, la valeur dey-,

•.ri- '*• A*,'

if ■ V.*-T • ,

ji...* /• CT *•; -

by

Portons cette valeur à la place Je y dans l'expression

remplaçons a* y'1 par sa valeur b7 x'*’ — a' Z>! tirée de l’équation de l'hyperbole , nous aurons

a* y* — b’1 a. r!-4- a7b7Xx

-ÿr.

Tant que x est différent de x\ ce second membre est positif, et l’on a

Par conséquent , tous les .points dont l’abscisse est différente de x\ sont extérieurs à l’hyperbole.

L hypothèse x = x' donne

a7 y7 — b7 x7 - f- a7 b7—o, cl ramène au point de tangence.

Lorsque dans la formule a = — — -, on change seulement

les signes des coordonnées, a conserve la même valeur. Par conséquent, si une droite passant par le centre rencontre la edurbe en deux points , les tangentes en ces points sont parallèles.

En supposant dans la môme formule x1— ± a et y1 = o, « devient infini ; c’est-à-dire que les tangentes aux sommets de l’hyperbole sont perpendiculaires à l’axe.

155. Si l’on fait croître x' positivement depuis a jusqu’à l’infini , le point de contact M (fig- 91) prendra toufrs les positions possibles sur l’arc de courbe situé dans l’angh* YAX. Comme y' augmente avec x\ on ne voit pas immédiatement quels sont les changements qui en résultent pour la valeur de a. Pour connaître ces changements , rempla-

1)E l’h-yeebbolk.

. çousy' par sa valeur - yjx'* — as,

nous aurons

b ■ x1 bx' b

On voit qu'en faisant croître x' depuis a jusqu’à l’infini , «

diminue de l'inOui à ~ Donc la tangente s’incline de plus

en plus sur l’axe jusqu’à cette dernière limite.

Pour savoir ce que devient la tangente, cherchons la distance AT du centre au point de rencontre de cette droite avec l’axe transverse. L’hypothèse y — o donne

valeur qui diminue et tend vers zéro quaud x' augmente, le signe étant toujours celui de x'. Par conséquent, à mesure que le point de contact s’éloigne sur l'hyperbole, le point T se rapproche du centre sans jamais passer de l’autre côté. La supposition x' = oo donne

AT = o.

Il résulte de ce qui vient d’èlre dit, que dans le cas où le point de tangence est situé à l’infini sur l’arc B.YI, la tangente passe par le centre et forme avec l’axe des x un angle

dont la tangente trigonométrique est

Pour construire cette tangente, on formera le rectangle H LH L sur les axes 2«, aù, et 1 on mènera la diagonale H'L. On aura

tangLAB — -■

A cause de la symétrie de la courbe, celte diagonale sera aussi la limite de position des tangentes menées à la courbe

a4 O CHAPITRE DIXIÈME.

dans l’angle- Y' AX'. On peut reconnaiuc, sans peine, que la seconde diagonale L'H est la limite des tangentes menées aux deux autres parties de l’hyperbole. Ces deux limites sont représentées pâr les équations

Quand l’hyperbole est équilatère, on a

par suite, les droites HL', H'L, divisent en deux parties égales les angles des axes, et sont perpendiculaires entre elles.