D’après ce qui précède, on trouvera facilement

ni: î. nvpKHBou:.

■{fs- 9')

tung A MT =

Aux extrémités de l’axe transverse, y' étant nul, la valeur précédente devient infinie, c’est-à-dire que pour ces points la tangente est perpendiculaire à la droite menée du centre au point de contact. Il ne peut en être ainsi que pour ces points, puisque pour tous les autres, aucune des coordonnées x', y' , ne pouvant être nulle, la tangente de l’angle AMT n’est pas infinie.

Si le point de contact s’éloigne sur la courbe dans l’angle VAX, les coordonnées x', y' , augmentent positivement, et comme elles peuvent croître jusqu’à l’infini, la tangente de 1 angle AMT peut diminuer jusqu’à zéro; il en est de même de cet angle; donc, quand le point de contact est à l’infini, la tangente MT se confond avec la droite AM , menée du centre à ce point de contact.

159. On a trouvé pour la tangente à l’hyperbole au point dont les coordonnées sont x', y', l’équation

il est aisé d’obtenir l’équation de la tangente menée par un point extérieur, en représentant par x", y", les coordonnées de ce point. Comme elles doivent satisfaire à l’équation (i) , on aura

D’ailleurs, le point (x'? y') appartenant à la courbe, il viendra

En cherchant , comme pour l’ellipse , les valeurs de x', y', •>u obtient, dans l’expression de ces valeurs, un radical sous lequel se trouve la quantité

a4a CHAPITRE DIXIÈME.

On en conclut facilement que par un point extérieur, ou peut mener deux tangentes à l’hyperbole ; que ces deux tangentes se réduisent à une seule quand le point donné est sur la courbe, et que le problème devient impossible quand ce point est intérieur.

160. Donnons pour l’hyperbole une équation de la tangente indépendante des coordonnées du point de contact. Si l’on combine l’équation de la courbe

a1 y1 — b'- x1 — — a’fc*, avec celle d’une droite

y — mx -+- n ,

on trouvera , en opérant comme pour l’ellipse (n° 121) , que l'équation d« la tangente à l’hyperbole est

y = mx ± — b

161. D’après la définition de la normale, il est aisé de voir qu’en désignant par x',y', les coordonnées du point de contact, l’équation de cette ligne est

En supposant y

= o dans cette équation , il vient (fig-ÿi)

cette expression n’a pas de maximum, puisque x' peut croître jusqu’à l’infini. Si l’on fait décroître x', la valeur précédente diminue , le point M se rapproche du sommet B, et en donnant à x' sa plus petite valeur x' — a, la distance

AN atteint son minimum , qui est égal à On voit

• par là que si l’on prend AN' = ■> le point N se rap-

DE I.' HYPERBOLE.

prochera do plus en plus do N' à mesure qui* le point de oontart se rapprochera du sommet B.

162. Si 1 on voulait mener une normale à l’hyperbole par un point extérieur 5 en opérant, comme pour l’ellipse, on serait conduit à résoudre les deux équations

L’élimination de y1 conduirait encore à une équation complète du quatrième degré ayant son dernier terme négatif. La discussion serait la même que pour l’ellipse.

La résolution du problème par des lieux géométriques conduirait à la construction d’une hyperbole, passant par le centre de la première et par le point donné, les asymptotes de la seconde hyperbole étant parallèles aux axes de la proposée.

163. Dans l'hyperbole , les rayons vecteurs menés au point de contact font avec la tangente et de deux côtés différents de cette ligne , des angles égaux.

En effet, on sait que ( fig. 92) AT = et que AF = c; il en résulte

a‘ ex1 — a!