FT FM F' T ~ F'M

Par conséquent, l’angle FMT = F' MT.

Cette propriété fournit le moyen de mener une tangente à l'hyperbole par un point pris sur la courbe, ou par un point extérieur.

Soit M le point donné sur la courbe , on mènera les rayons vecteurs FM, F'M. On prendra sur F'M, MG == MF, on joindra G, F, et du point M on abaissera MH perpendiculaire sur GF. Cette perpendiculaire sera la tangente demandée. En effet, cette droite divise l’angle F' MF en deux parties égales, puisque le triangle FMG est isocèle.

il est facile de faire voir que MH a tous scs points hors de l’hyperbole, à l’exception du point M. Car, pour tout autre point N, on aura , en menant les droites NF, NF', NG,

NF' — NG<F'G.

Or,

NG = NF et F’ G = 2 « ,

donc

NF' — NF <2a.

D’où il résulte que le point N est hors de l’hyperbole.

Supposons que la tangente doive passer par un point extérieur N. Soit NM la tangente cherchée. En menant les rayons vecteurs MF, MF', et en prenant ÎVIG = MF-, si l’on lire GF, la tangente MN sera perpendiculaire sur le milieu de GF. Le point G est alors déterminé par la rencontre de deux circonférences décrites, l’une du foyer F' avec un rayon égal à 2 a, l’autre du point N avec un rayon égal à NF. Quand on a ainsi obtenu le point G, il suffit de le joindre au point F et d’abaisser la perpendiculaire NM sur cette ligne de jonction ; le point de rencontre M de la perpendiculaire avec le prolongement de F' G est le point

DU L HYPERBOLE

de tangence. O11 voit en effet, par cette construction, que MG = MF ; par suite , que F' M — MF — ia \ enfin , que F'MH=tFMH.

Lorsque le point N est extérieur à l’hyperbole, 011 a

d’où

On a aussi

F' N — NF < 2 a ,

F'N< 2rt -4- FN. >

F' N > F'F — FN ; à fortiori, F' N >2 a— FN.

Lorsque FN est plus grand que 2 a , on a F'N^FN — m-,

car F' N est plus grand que FN. On voit donc que la distance des centres des deux cercles est plus petite que la somme, et plus grande que la différence des rayons; et, par conséquent, ces cercles se rencontrent en deux points.

Si le point donné était sur la courbe, la distance des centres étant alors égale à la somme des rayons, les deux cercles se toucheraient extérieurement , et le problème n’aurait plus qu’une solution.

Si le point était intérieur, la distance des centres serait plus grande que la somme des rayons ; les circonférences n’auraient, dans ce cas, aucun point commun , et il n’existerait pas de tangente à l’hyperbole.

164. Le point H ( fig . 92) étant le milieu de FG, et le point A le milieu de FF', la droite AH est parallèle à F'G, et égale à la moitié de cette dernière ligue. Or,

F'G = 2 a, donc AH — a.

La tangente MT étant quelconque , 011 conclut de là que la lieu géométrique des pieds d.es perpendiculaires abaissées des foyers sur les tangentes est. une. circonférence de cercle

ayant le même centre que l'hyperbole , et pour diamètre le premier axe de cette courbe.

Des diamètres.