L’équation d’une corde quelconque telle que GO

(/%• 9$) » est de f°rme

y “ Sx -j- 6.

Si 011 la combine avec celle de la courbe a7 y1 — b7 x7— — a7 b7,

ou aura les coordonnées des points G et G'. L’élimination dey donne

(a7S‘ — b‘)x7-\- ïd‘SSx -+-(e3-+- b'-)a7 = o,

ou

équation qui a pour racines les abscisses AP et AP' des extrémités G, G', de la corde.

Pour avoir l’abscisse du milieu H de GG', il faut prendre , comme on sait, la demi-somme des racines de 1 équation (i), En nommant x cette abscisse, on aura

a7 SS

Cette valeur, portée dans l’équation y = Sx -+- 6 ,

conduii à

pour l’ordonnée du milieu de la corde.

En supposant que, à restant le même, 6 passe suqcessive-

DE L I1YPERB0LE. 247

ment par tous les étals de grandeur, on aura une suite indéfinie de cordes toutes parallèles, dont les milieux auront pour coordonnées générales les valeurs précédentes ; donc , si on élimine 6 en divisant y par x , l’équation résultante

sera nécessairement celle du diamètre relatif aux cordes dont le coefiicient d’inclinaison est â.

On voit , comme pour l’ellipse, que les diamètres de V hyperbole sont des lignes droites passant par le centre.

La quantité à étant susceptible de recevoir toutes les valeurs possibles , de — 00 à -f- 00 , il en résulte que les droites menées par le centre peuvent être regardées comme des diamètres .

O11 doit dire que celle réciproque n’a pas lieu, lorsque à — ü -• Dans ce cas , l'équation précédente devient

et représente les deux droites qui ont été remarquées comme limites des tangentes. Ces droites ne peuvent pas être des diamètres, car, pour ces valeurs de <? l’équation (1) n’ayant plus cfu’une seule racine finie, les lignes parallèles représentées par l’équation * ’ ...

• y = Sx - )- *> ,

11e rencontrent plus l’hyperbole qu’en un point; elles 11c peuvent être des cordes , et conséquemment il n'y a pas de diamètre correspondant.

En représentant l’équation du diamètre par y — 0' x, on suppose

a'4S CHAPIÎIcE DIXIÈME.

On en déduit entre les tangentes d, d', la relation

Cette relation pourrait être tirée de son analogue dans l’cl4lipsc, en changeant b* en — h *. Elle conduit aussi à des conséquences semblables. ■ . ■

i°. En représentant par a. la tangente trigonométrique de 1‘ angle que la tangente menée à l’extrémité du diamètre fait avec l’axe des x. on a entre oc et d' la relation

d’où

a.3'—àd', et, par ‘suite, x = 3.

Donc , les cordes quun diamètre divise en parties égales sont parallèles à la tangente menée à l'extrémité de ce diamètre. -

2°. Le produit dô 1 ayant pour valeur constante — j ne

peut devenir égal à — i ; donc les axes des coordonnéessont les seuls axes de l’hyperbole, puisqu'il n’existe pas d’autre diamètre perpendiculaire aux cordes correspondantes.-

3°. On voit , par la relation dd' = — » que- si le diamètre

qui a pour équation j' = d' x divise en deux parties égales les cordes parallèles à celui qui est représenté par y — dor, réciproquement, celui-ci coupe en parties égales les cordes parallèles à l’autre. Ainsi, la éondition suffisante pour que

deux diamètres soient conjugués , est éâ1 — — ^ -

HR). Nous allons faire voir que de deux diamètres con- . j ligués; il n’y en a qu’pn seul qui rencontre l’hyperbole. Soit y = dx l’équation d'un diamètre ; en cherchant ses.

• DF. L IIYFEItBOLE. • •: v !U|J)

points d intersection avec la courbe, ou trouie pour les . abscisses dp ces points ,

V b'*—, nj db'—a'S' .

Pour t|ue ces valeurs Soient réelles , il. faut que $ soit numériquement plus petit que -• Lorsque cette condition est remplie, le diamètre rcnconfre l'hyperbole. Or, la relation

od' = — prouve qu alors ô' est plus grand que" — Si on avait.

pris on aurait eu d' <"-• Dans ce cas, le second

diamètre seul aurait rencontré la courbe. Donc, les diamètres qui coupent la courbe ont leurs conjugués parmi ceux qui ne la rencontrent pas.

Si l’on construit sur les axés le rectangle DED'E'(/Σ.93), les .diamètres qui passent darts les angles DAE, D'AE', font avec l’axe BIP des angles dont les tangentes sont numériquement plus petites que - ; tandis que ccùx qui traversent »

.4 -fl

les angles DAD', EAE', font avec ce même axe BB' des angles dont les tangentes sont plus grandes que -• Les premiers sont donc ceux qui rencontrait la courbe , les sèconds ceux qui ne la rencontrent pas. ' * ’ V *

4 * tE v # * ' * *, ‘

Des cordes, supplémentaires.

167. Quand un diamètre rencontre l’hyperbole, on gomme cordes supplémentaires deux droites menées des extrémités, de cç diamètre à ‘un point quelconque de la

courbé. * '

lîn reprenant les raisonnements et les calèuls du n" 139^

et en désignant encore par y, y', les tangentes des angles que font avec l’axe des x , des cordes supplémentaires quelconques, on trouve

Réciproquement, quand cette relation a lieu, soit pour deux droites partant des extrémités d’un diamètre, soit pour deux droites menées d’un point de la courbe, ces droites sont des cordes supplémentaires..

Dans le cas de l’hyperbole équilatère , comme on a b = a, la relation précédente devient

c’est-à-dire que dans cette courbe les angles formés parles cordes supplémentaires avec le premier axe , sont compléments l’un de l’autre.