La relation yy'= — conduit à des conséquences
semblables à celles qui ont été déduites de son analogue dans l’ellipse. Ces conséquences s’énoncent de la manière suivante :
i°. Si deux cordes sont supplémentaires par rapport à un certain diamètre , les parallèles à ces cordes , menées par les extrémités dè tout autre diamètre, sont aussi supplémentaires relativement à ce diamètre; ces nouvelles cor- ■ des font entre elles les mêmes angles que les premières.
a°. Soient un diamètre quelconque BB' (fi g- 94 ) qui rencontre l’hyperbole , et MT une tangente.’ Si l’on mène la corde B'N parallèle à AM, et la corde supplémentaire BN, cette corde BN et la tangente MT seront parallèles.
Celle propriété donne le moyen de mener une tangente à l’hyperbole, soit par un point pris sur la tourbe, soit
pa
rallèlcment à une droite donnée. ♦
Dans le premier cas > si M est le point de contact, on
T)E L HVl’EliBDLE.
joindra ce point au centre A. Par l’extrémité B' d'un diamètre quelconque OB', on tirera la corde BN parallèle à AM; on joindra BN, et la parallèle MT menée à cette dernière droite sera la tangente demandée.
Dans le second cas, en supposant que la tangente doive être parallèle à GH, on mènera parallèlement à cette ligne la corde BN par l’extrémité B d’un diamètre quelconque; on tirera la corde supplémentaire NB', et en menant le diamètre MAM' parallèle à B'N, les extrémités M et M' seront les points de contact cherchés. Ce problème, toutefois, n’est possible qu’autant que la parallèle menée par le centre à la droite GH se trouve au-dessus des limites des tangentes (n° 155 ).
3°. Deux diamètres parallèles à des cordes supplémentaires sont toujours conjugués.
Réciproquement, deux diamètres conjugués sont toujours parallèles à des cordes supplémentaires.
On déduit de là un moyen simple de mener deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné.
Il suffît, en effet, de décrire sur un diamètre quelconque BB' ( fig . 94) un segment BNB' capable de l’angle connu; de mener les cordes BN , B'N , et de conduire par le centre des parallèles à ces cordes.
Ici , l’angle donné n’est pas, comme pour l’ellipse, renfermé dans des limites déterminées. L’angle aigu des cordes supplémentaires peut passer par tous les états de grandeur , depuis l’angle droit jusqu’à zéro.
En effet, si l’on cherche la tangente de 1 angle B'NB .{fig. 94), on trouvera facilement ,s
ümgB'HB =
et il est visible qu’en faisant croître y de zéro à l’infini , la tangente de l’angle B'NB décroît de l’infini à zéro, c’està-dire que l’angle diminue de 90 degrés à o degré.
202 TH APITOIE 1)1X11. Ml,.
Comme il existe deux points N, N', au-dessus de l’axe transverse qui ont la même ordonnée, il y a également deux systèmes de diamètres conjugués qui forment les mêmes angles , et il n’y en a pas davantage.
4°. Les axes de l’hyperbole étant des diamètres conjugués rectangulaires, on les obtient, comme ceux de l’ellipse, en décrivant sur un diamètre quelconque GG' (fig- 95) une circonférence de cercle, en tirant les cordes MG, MG', et en leur menant des parallèles RB', DD', par le centre de la courbe.
5°.- Enfin , le centre de l’hyperbole s’obtient par la même construction que celui de l’ellipse.
L’hyperbole /'Apportée à ses diamètres conjugués.
169. Lorsqu’on a l’équation a* y* — b* x* = — a* b1 de l’hyperbole rapportée à ses axes, si l’on veut obtenir l’équation delà courbe rapportée aux diamètres conjugués, il faut, comme pour l’ellipse, passer d’un système d’axes rectangulaires à un système d’axes obliques de même origine, et déterminer les nouveaux axes de manière que l’équation ne conserve que les termes allectés des carrés des variables et le terme indépendant. Les formules qu’on doit employer dans la question étant
x = x3 cos a -+- y cos a', y — x' sin a -t -y' sin a',
-on obtiendra d’abord
. ( a 3 sin3 a'— b7 cos,a.')y,1+ 2.1a’ sin a sin a' — • b 3 cos a cosa' ) x' y ' -4- (a3 sin3 a — b' cos3 a) x'3 = — a- b'-.
Pour que l’équation ait la forme demandée, il faut poser (j) fl’stnasina' — è3 cos a cos a! — o ;
ce qui réduit l'équation de la courbe à
(a) '(«’ sin3 a'-— ê3 <:<*$’ V) y-'3-f* («,sin: a — b' cos3 a) x’'— — a b'.
l)K L HVPERBOr.É. * L’hypothèse y' — o donne
— tfb'-
a - si n’ a — il '- cos1 a
et la supposition x' = o conduit à
a7 sin1 a' -i-' bx cos3 a'
Ces valeurs sont nécessairement de signes contraires , caria relation (i) donne *
a 7 sin’ a X «’ sin1 a'== è2 cos1 a X b- cos* a', •
et on reconnaît que si a1 sin* a est moindre que i' cos’a, •• il faut, par compensation , que a* sin* a' soit plus grand que b* cos* a', et réciproquement. Donc, des deux nouveaux axes, il n’y en a qu’un seul qui soit rencontré par la courbe ; ce qui a été vu précédemment (n° 166).
En prenant pour axe des x' celui qui est rencontré, et • en désignant par 2 a' la partie de cet axe comprise dans* l’hyperbole, on aura
a7 sin1 a — b 1 cos:tt ’
puisque le carré de y' est négatif, en le désignant par — b'*, on obtiendra
n1 sin2 a' — b'1 cos1 a'
Si l’on remplace les coefficients de y'* et de x11 par leurs
valcu
rs
l’équation (2) devient — b ,7x1'— — a'7 b'7.
Le diamètre qui rencontre la courbe et dont la longucui est ici 2 a', se nomme le premier diamètre ou le diamètre transverse; l’autre sur lequel se comptent les y' se nomme.
.Ïî> . »*•
a54 CtfAPLTRË DIXIÈME.
le second diamètre, quoiqu'il ne rencontre pas l'hyperbole; on convient de représenter sa longueur par •>. h' .
