De l’équation (i) on déduit

(3) tang*. tang a' = — t . ■ •

et l’on voit qu’en donnant à a une valeur quelconque, on aura toujours pour a' une valeur correspondante; c’est-àdire que chaque diamètre a son conjugué. Il faut remarquer, toutefois, qu’on ne doit point faire tang« = ± ->

puisque alors on n’aurait pas de véritable diamètre (n° 166).

La relation (3) étant semblable à celle qui lie entre elles les directions des cordes supplémentaires, il en résulte que si l’une des cordes est parallèle au premier diamètre , 1 autre sera parallèle au second diamètre ; on retrouve ainsi ces propriétés connues, que deux diamètres conjugués sont parallèles à deux cordes supplémentaires ,• et réciproquement, que deux diamètres parallèles à deux cordes supplémentaires sont des diamètres conjugués.

Dans l’hyperbole équilatère , comme onaè = «, on obtient

tang a . tang a! — i ;

c’est-à-dire que les angles « , a', sont compléments l’Un de l’autre.

171 . Dans l’hyperbole, il y a deux théorèmes analogues à ceux du n° 137, et comme ils se démontrent d’une manière semblable, nous nous bornerons à les énoncer.

Théorème I. — Le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle des axes.

Théorème II. — La différence des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est égale à la différence des carrés des axes. . •*

* * - Digifeed by Gpogle

ue l’iivverboee. a55

Cette dernière relation prouve que 1 hyperbole Ordinaire n’a pas de diamètres conjugués égaux , et que dans l’hyperbole équilatère où a = b , tous les systèmes de diamètres Conjugués sont des systèmes de diamètres égaux. Ces diamètres égaux font avec l’axe transverse des angles compléments l’un de l’autre.

172. En supprimant les accents des variables x\ y\ l’équation ( k ) (page a53) deviendra

Comme elle est semblable à l’équation relative aux axes , les propriétés indépendantes de l’inclinaison des ordonnées seront communes aux axes de la courbe et à ses diamètres conjugués. Ainsi : . .

i°. Les carrés des ordonnées parallèles à un second diamètre sont entre eux comme les produits des segments que ces ordonnées déterminent sur le premier.

2°. Selon qu’un point est situé sur l’hyperbole, hors de l’hyperbole ou dans l’hyperbole, la quantité

est nulle, positive ou négative.

3°. En désignant par « le coefficient angulaire de la tangente , on a

et pour équation de la tangente :

Les limites des tangentes ont pour équations

d’où l’on déduit qu’elles se confondent avec les diagonale»' *

«lu parallélogramme construit sùr-lcs diamètres conjugués.

La sous-tangente est égalé à

.0v.uV — »

On a entre les valeurs dé x et x', relatives à la tangente et au diamètre mené au point de contact , la relation

• ■ ’ " ' .,= hl ’ ' ■’ -

4". Si y = dx -H o est 1 équation d’une corde quelconque dé l’hyperbole, et que y = d' x soit celle du diamètre qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles , on aura la relation

•relation qui a lieu aussi pour deux diamètres conjugués dont les équations seraient

y — Sx et y~S'x-, •

et pour deux cordes supplémentaires menées des extrémités d'un diamètre quelconque.

173. Lorsque l’hyperbole est rapportée à deux diamètres conjugués, si l’on veut lui mener ime tangente par un point extérieur, on opérera comme pour l’ellipse , et on sera conduit au théorème suivant : •

Si rie chaque point d'une droite donnée, on mène deux ' tangentes à une hyperbole , et qu’on joigne les points de contact, on aura des sécantes qui viendront , toutes, se couper en un même point situé sur le diamètre conjugué de celui qui est parallèle à la droite donnée. ;

La réciproque de ce théorème est vraie ; c’est-à-dire que :

Si par un point donné sur le plan d’une, hyperbole. , on tire différentes sécantes , et que par les points où. chaque sécante rencontre la courbe, on mène deux tangentes, le, lieu des points d’ intersection de ces tangentes, ainsi prises

DE l’hyperbole. 257

deux à deux , sera une droite parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe parle />oint donné.

174. L’équation a'*y ! — bl,xi— — a"* b1* fait voir que pour décrire une hyperbole quand on connaît deux diamètres coujugués, et l’angle qu’ils font entre eux, il faut décrire une hyperbole sur ces diamètres considérés comme axes , et incliner ensuite les ordonnées sous l’angle connu , sans changer leurs grandeurs.

Iles asymptotes.