Soient

les côtés d'un quadrilatère, et A„ lx, l., des coefficients dont les rapports soient déterminés de telle manière que la fonction P, -f- • . . -+- P4 s’évanouisse identiquement, ou que l’on ait

(I) ^iPi + X2P, + XjPj + X, P,= o.

PRÉLIMINAIRES

Si nous considérons la droite représentée par l’équation (i) LP,-t-X,P,= o,

nous verrons qu’il résulte de l’identité (I) que cette droite peut aussi être représentée par l’équation complémentaire

obtenue en retranchant, de la première (i), l’expression identiquement nulle Pj 4- . . . -+- P4. Les équations

complémentaires (i), (i') représentent donc une seule et même droite laquelle passant par le sommet 1 2 d’après l’équation (i), par le sommet opposé 3 4 d’après l’équation (i'), n’est autre que la diagonale (1 2, 3 4) du quadrilatère proposé.

Si l’on désigne dès lors par

les équations des trois diagonales menées respectivement des sommets 12, 23, 31 aux sommets opposés du quadrilatère, on aura identiquement

Pj -4- ^Pa

= 2 h Al,

)‘3 Pj -h ^ | P t

et l’on

en déduit d’abord

>,P, = él A —

èB + cC

(a) ).,P,== a A 4- èB — c C,

(3) X3PjS — a A 4- èB rC ; ensuite

L Pi -f- Xj P, -f- X3 P3 fi A 4- b B -f- eC,

ou encore, et en ayant égard à l’identité fondamentale (I),

(4) — X,P,==rtA4-èB4-cC.

La représentation analytique d’un quadrilatère complet , rapporté au triangle formé de ses diagonales, résulte de ces formules ; et l’on voit, les trois diagonales étant repré-

sentées par les équations

que les quatre eûtes sont contenus dans la quadruple équation •

nÀ±èBdrrC = o,

on a, b, c désignent des nombres quelconques.

Les propriétés harmoniques du quadrilatère complet résultent aussi de cette analyse {ftg. 5).

Fie- j-

Car les traces des côtés 1, 3 ou P,, P3 du quadrilatère sur Je côté BC ou A = o du triangle diagonal, sont définies respectivement par les équations simultanées

c’est-à-dire

( — èB-t-eC = o, I ôB-t-cC = o.

Les deux droites ± b B -+- cC = o, menées du sommet A du triangle diagonal aux deux sommets 1 2, 3 4 du quadrilatère situés sur le côté opposé, sont donc harmoniquement conjuguées par rapport aux deux autres côtés AB, ÀC de ce triangle. En d’autres termes, chacune des trois diagonales (12, 3 4) du quadrilatère est divisée harmoniquement (aux points B et C) par les deux autres.

PRÉLIMINAIRES

§ II. — De V équation de la tangente en un point d'une courbe algébrique rapportée à un nombre quelconque de droites Jixes.

10. Une courbe plane quelconque rapportée, en premier lieu, au triangle de référence

étant représentée par l’équation homogène /(A, B, C) = o ;

proposons-nous de former l’équation de la tangente pour le point (a, b , c) de la courbe. Et soit d’abord, avec trois coefficients indéterminés m, n, p ,

/nA4-«B4-/>C — O

l’équation d’une corde variable menée du point (a, b , c) au point voisin ( a + da , b 4- db, c + dc). Les rapports m’.n’.p seront définis par les relations

ma 4- nb 4- pc — o,

m ( a 4- Sa) 4 - « (A + Sl>) 4- p[c 4- Sc ) — o; ou. par celles-ci,