mSa 4- nS b 4- pS c = o

Or les coordonnées A, B, C d’un point quelconque du plan de la figure étant des fonctions déterminées des coordonnées cartésiennes^, x du même point ; les coordonnées triangulaires b, c de chaque point de la courbe sont des fonctions déterminées de l’abscisse x de ce point; et leurs dérivées respectives par rapport à x, a1, b c' sont pareillement déterminées. Si donc on désigne par dx l’accroissement de l’abscisse dans le passage du point (a, b, c) de la courbe au point voisin (a + ia,...), on verra que les coefficients m , n, p, relatifs à l’équation de la corde résultante, sont

définis par les équations

ma 4 nb -+- pc — o,

Sa

S b rie

U + l' STr ~

De là, en imaginant que âx décroisse indéfiniment et passant à la limite, on voit, l’équation

(o) niA-t-»B4-/»C = o

désignant actuellement la tangente au point (a, />, c) de la courbe, que les rapports m\n\p seront définis par les équations

(1) am -+- b n 4- çp—o,

Mais le point (n, h, c) appartenant à la courbe, on a l'égalité

que l’on peut écrire, d’après le théorème d’Euler sur les fonctions homogènes,

(»') b,c) + b f' +cfl — o.

Le point variable («4- Sa, . . . ) appartenant de même à la courbe, on a cette autre égalité

fia 4- Sa, b 4- S b, c 4- Sc) — f(a, b, r) Sx

d’où, en passant à la limite et prenant la dérivée d’après la règle relative aux fonctions composées,

(2') a’fja, b,c) + b'f-+c'fi: = o.

La détermination des coefficients ni, n, p , relatifs à l’équation (o) de la tangente, résulte maintenant des équations (i), (a) comparées aux égalités (E), (a')-, et. puisque l’on passe des unes aux autres en remplaçant, dans les premières, les inconnues ni, n, p par les nombres f'u ( a , b, c), J'b , /' ; ces nombres sont précisément les va-

PRÉLIMINAIRES

leurs de ces inconnues 5 011 peut poser

■ta («. b, C) fb t[.

el l 'équation de la tangente au point (a, b, c) est

il. Si la courbe considérée, rapportée à un polygone de référence quelconque

est représentée par V équation homogène /(A, B, C, D,...)=0,

V équation de la tangente pour le point ( a , b, c, d,. . .) de la courbe est. encore

A fa (a, b, c , d...) + B/; + Cfc + D/;, -4- . . . =o.

(Plt)cker, System der Analytischen Geometrie, p. 1 19.)

La démonstration est toute semblable à la précédente, à une différence près qu’il est bon d’indiquer, et qui tient à ce que la tangente peut maintenant être représentée d’une infinité de manières par une équation de la forme

Reprenant dès lors la même analyse, on verrait que les nouvelles équations (1) et (2) ne sont plus déterminées, mais admettent, en ni, n, p, q,. . ., une infinité de solutions. Celle d’ailleurs de ces solutions qui résulte de la comparaison des équations (1) et (2) aux égalités (i') et (2'), et qui se traduit par cette série de proportions

Ja J b Jc J d

subsiste toujours, et l’équation correspondante

l6 CHAPITRE PREMIER.

est, non plus la seule forme possible, mais la seule utile de l’équation de la tangente.

La démonstration de l’auteur, fondée sur l’emploi des infiniment petits, est beaucoup plus rapide. (Peccker,..., p. 1 19). N’est-il pas remarquable qu’une aussi belle proposition, et dont les applications sont continuelles, n’ait pu passer encore dans aucun de nos Traités de Calcul infinitésimal? Les plus récents n’en disent rien.

12. Application. — Soient, avec six coefficients homogènes ou cinq rapports arbitraires,

/( A , B, C) = a A’ -4- P 4- y C’ + 2 a' BC + 2 ' CA 4- 1;' AB = o l'équation générale des courbes du second ordre; et (0 c) + B/; + cy;:=o,

ou, en développant,

A (an + 6 ' c-\- y' b) 4- B (fi 6 H- y 'a 4- a ’é) 4 C (y c -t- a' b 4- [}'•<?) =0

l'équation de la tangente pour le point (a, b , c) de la couibe. Si l’on ordonne celle équation suivant les coefficients a , (S, y, y', de cette manière,

aA a -t- pB b -t- y Ce