CONSTRUCTION PAR POINTS DE LA PARABOLE
au plan des centres des surfaces inscrites au seul hexaèdre conique P, . . . P,.
De semblables réductions se produisent encore si l’on augmente les données précédentes de celle d’un huitième on d’un neuvième plan tangent quelconques o = P„ = P9 : le plan médian de l’hexaèdre primitif contenant, dans le premier cas. la droite des centres de toutes les surfaces; dans le second, le centre de la surface unique répondant à ces données.
Si les nouveaux plans tangents P7 et P* sont parallèles à deux autres plans tangents du cône directeur , le centre de la surface est déterminé : non cette surface elle-même, que l’on peut encore assujettir à une nouvelle condition. Et toutes ees particularités ne sont pas autrement étranges que celles qui se produisent dans la détermination du centre d’une conique définie par cinq tangentes. Car si deux de ces tangentes sont parallèles entre elles, le centre de la courbe appartient nécessairement à la droite équidistante de l’une et de l’autre, et la donnée de deux nouvelles tangentes ne le particularise pas davantage. De même si quatre des tangentes données forment un parallélogramme, le centre de la courbe est déterminé indépendamment de la cinquième; et toute conique inscrite à ce parallélogramme est concentrique à celui-ci, tout en demeurant capable d’une cinquième condition.
§ IV. — Construction par points de la parabole et du paraboloïde , d'une conique et d’un ellipsoïde quelconques.
2o0. Problème I. — Connaissant un triangle conjugué et la direction des diamètres d'une parabole , construire un point quelconque de la courbe et la tangente en ce point.
Soient Y = o une diamètre conduit arbitrairement, parallèlement à la direction donnée, et X = o la tangente in-
conuue, relative à l'extrémité de ce diamètre. La parabole étant rapportée alternativement aux axes que l'on vient de définir, et au triangle conjugué P, P, P5, par les équations équivalentes
Y’ — = X,P;+X,P; + X3PÎ = o,
l’on a identiquement
X, PJ -4- X, P; -+- X, P’ -t- YJ = -îpX.
La tangente cherchée X = o coïncide donc avec la médiane du quadrilatère P, P2 P3 Y formé des côtés du triangle donné et du diamètre que l’on a choisi. Le problème proposé se trouve donc résolu, et l’on a ce théorème : Les irois premiers côtés , 1 , 2, 3 d'un quadrilatère demeurant fixes , tandis que le quatrième se déplace parallèlement à une direction donnée; la courbe enveloppe delà médiane de ce quadrilatère et la courbe décrite par la trace de cette médiane sur le côté mobile correspondant font une seule et même parabole, conjuguée au triangle 12 3, et dont l'axe est parallèle à la direction donnée.
251. On peut obtenir directement l’axe et le sommet de la parabole précédente (fg. 5 1) .
Si l’on regarde, en effet, la direction générale des diamètres comme horizontale, la médiane relative au quadrilatère 1 21' 2' serait perpendiculaire à celte direction, et représenterait la tangente au sommet de la courbe, si la
demi-somme — — - 1 des distances , à une verticale fixe 2 ’ 1
quelconque, des extrémités 1, l'de la première diagonale se trouvait équivalente à la somme analogue — relative aux extrémités 2, 2' de la seconde : et l’on aurait, dans ce cas,
ou
3C \t ■' X | 1 Xj j
