AXE ET SOMMET DE LA COURBE

ou enfin puisque la différence xv — xt, est mesurée, sur la figure, par le segment l'2‘,

l'2' = X| — x, = 12.cos(i2, o.t).

Le segment \\ 21,, intercepté sur l’axe de la courbe par les

Kig. Si.

côtés de l’angle 3, est donc connu de direction, de grandeur et de sens : dès lors aussi de position. Et sa trace sur la médiane correspondante pv est le sommet de la courbe.

Le diamètre l'2' relatif à une tangente de direction donnée se déterminerait de la même manière : le segment l'2' intercepté sur ce diamètre par les côtés de l’angle 3 serait encore défini de direction et de sens, et sa grandeur mesurée par la différence des distances des sommets 1,2 à une parallèle quelconque à la direction donnée; ces distances se comptant toujours parallèlement à la direction générale des diamètres.

252. Problème 11. — Connaissant un tétraèdre conjugué et la direction des diamètres d'un paraboloïde, construire un point quelconque de la surface et le plan tangent correspondant.

Soient

deux plans diamétraux conjugués, conduits l’un et l’autre suivant une parallèle quelconque à la direction donnée îles diamètres : le premier dans une direction arbitraire autour de. cette parallèle, le second dans une direction inconnue. Et soit

le plan entièrement inconnu qui touche le paraboloïde suivant l’extrémité du diamètre choisi.

Les équations équivalentes

jrj

— — 2X = o et P

du paraboloïde rapporté d’une part aux plans X,Y, Z que l’on vient de définir, de l’autre, au tétraèdre donné P, ...P*, entraînant l’identité

l’hexaèdre

(H) P, P.P.P.YZso

admet un plan médian qui n’est autre que le plan tangent cherché X = o (n° 245, p. 272). D’ailleurs, bien que l’hexaèdre (H) demeure partiellement indéterminé, par suite des directions indéterminées de deux de scs faces Y, Z dont l’intersection o = Y = Z est seule connue; on peut cependant construire les points milieux de quatre de ses diagonales et dès lors son plan médian X = o. Si l’on considère, en effet, la figure formée du tétraèdre P, ... P4 et. de la droite YZ, les quatre diagonales de cette figure font

CONSTRUCTION PAR POINTS DU PARABOI.OÏDE. SVJQ

aussi quatre des diagonales de l’hexaèdre précédent; et leurs points milieux, que l’on peut construire, quatre points du plan médian X = o. Ce plan est donc déterminé, et l’on a, dans sa trace sur le diamètre correspondant YZ, un point du paraboloïde; dans ce plan même, le plan tangent en ce point.

De là ce théorème : Si l'on considère la figure formée d’un tétraèdre fixe 1 2 3 4 et d’une droite YZ, qui se meut parallèlement à une direction donnée y l’enveloppe du plan médian de cette figure et la surface dédite parla trace de ce plan sur la droite mobile correspondante font un seul et même paraboloïde conjugué au tétraèdre 123 4, et dont l'axe est parallèle à la direction donnée.

253. Remarque 7. — Le théorème relatif à la situation sur un même plan des points milieux des quatre diagonales de la figure formée d’un tétraèdre et d’une droite résulte, bien qu indirectement, de l’analyse précédente.

254. Remarque JJ . — Tous les systèmes de deux plans o = Y = Z que l’on peut conduire par une droite or, de telle manière qu’ils forment avec quatre plans donnes, P,, . . . , P,, un hexaèdre, conique , coïncident avec les plans diamétraux conjugués d’un certain paraboloïde, conjugué lui-même au tétraèdre P, . . . P*, et ayant l’un de ses diamètres dans la droite donnée. Tous ces hexaèdres ont d’ailleurs un même plan médian X = o; et les six plans P, , . . . , P,, Y et Z, transportés parallèlement à eux-mêmes en un même point de l’espace, s’y disposent suivant six plans tangents d’un même cône du second ordre.

255. Remarque JJJ . — La construction d’un système de plans diamétraux conjugués Y, Z du paraboloïde précédent s’obtiendrait en menant, par la droite donnée ox, un premier plan arbitraire Y, et déterminant ensuite le plan Z = odc la sixième face d’un hexaèdre conique dont les cinq

CHA.PITBK VII.

premières faces P,, . . . , P4, Y el le plan médian X seraient donnés. Cette dernière détermination peut d’ailleurs se réaliser (fig. 5a ) en doublant les rayons vecteurs menés de chacun des sommets a, b , c, d (Y = o) à tous les points

Fig. 5a.

du plan médian X : les plans doublés de celui-ci, par rapport à chacun de ces sommets, allant couper respectivement les arêtes opposées eu' , db\ ac\ bd' en quatre points a', b', c', d' du plan conjugué que l’on cherche, Z = o.

256. Remarque IF. — La construction précédente peut s’appliquer à la détermination de l’axe et du sommet du paraboloïde.

Si l'on suppose, en effet, les diamètres de là surface dirigés verticalement, la question se réduit à couper le tétraèdre donné 12 3 4 par une verticale l'2'3' 4' telle, que le plan médian de la figure formée de cette droite el de ce tétraèdre soit horizontal. Or ce plan médian contenant, ett particulier, les points milieux des deux premières, diagonales 11', 22', la droite 1" 2" qui les réunit doit être horizontale. De là ce problème préliminaire.

« Etant donnés un angle dièdre (1 3 4,234) et deux points fixes 1, 2 respectivement situés sur l’une on l'autre de ses faces, trouver le cylindre engendré par une verticale 4 ' 2 ' assujettie à rencontrer les faces de ce dièdre en des points 1', 2' tels, que les points milieux des droites 11', 22' soient situés sur une même horizontale, » ou que l’on