AXE ET SOMMET DU PÀRÀBOLOÏDE

ail

c’est-à-dire

Z|/ z 2f — — Zj ■ Z\ — const.

Il résulte d’abord de cette relation (Jig . 53) que le seg- Fig. 53.

ment L27 intercepté sur la droite mobile par les faces du dièdre donné conserve une longueur constante et qui n’est autre que la distance zt — z, des points fixes 1, 2 estimée suivant la verticale. Les segments l'2', l'0 2', relatifs à deux positions quelconques de la droite mobile se trouvent donc égaux et parallèles; la figure 1' 2'2’J 1', est un parallélogramme : ses côtés opposés 1' 1',, 2'2'„ sont parallèles entre eux et à la commune intersection des deux plans directeurs, ou à l’arèle du dièdre donné. La droite mobile \' 2 ' se meut donc dans un plan déterminé, parallèle à cette arête.

Si d’ailleurs, par le point I et dans le plan I 3 4 de la première face, par le point 2 et dans le plan 2 3 4 de la seconde on mène l’horizontale de chacun de ces plans; la verticale t'„ 21,', que l’on pourra mener s’appuyant sur chacunede ces horizontales, fournira, d’une manière évidente, l’une des positions de la droite mobile : puisque les points

milieux des diagonales actuelles 1 l'#, 22^ appartiennent au plan horizontal équidistant des points 1 et 2, ou et 2",.

Donc, si, par le sommet 1 du tétraèdre donné et dans le plan 13 4 île sa première face, par le sommet 2 et dans le plan 23 1 de la seconde, on mène l’horizontale de chacun de ces plans : le plan mené , par la verticale qui s’appuie sur chacune de ces droites, parallèlement à l<t commune intersection de ces plans, ou à l’arête 3 4, contiendra l’axe du paraboloïde. Cet axe sera donc fourni par la commune intersection de six plans distincts, analogues au précédent •, et le plan médian de la figure formée du tétraèdre 1 23 4 et de l’axe fournira ensuite le plan tangent au sommet du paraboloïde et ce sommet lui-même.

Le diamètre l'2' relatif à un plan tangent de direction donnée, ce plan lui-même et son point de contact s'obtiendraient d'une manière toute semblable. Car si l'on regarde comme horizontal le plan tangent cherché, en rendant à la direction générale des diamètres une obliquité quelconque, on reconnaît encore que si, parle sommet \ du tétraèdre et dans le plan 13 4 de la première face, par le sommet 2 et dans le plan 234 de la seconde, on mène l’horizontale de. chacun de. ces plans : le plan mené, par le diamètre qui s'appuie sur chacune de ces droites, parallèlement à ta commune intersection de ces plans, ou à r arête 34, contient encore le diamètre que l’on cherche et qui est fourni par la commune intersection de six plans analogues.

237. Problème 111. — Connaissant un triangle conjugué, une tangente et son point de contact, construire un point quelconque delà courbe et la tangente en ce point.

Soient T = o la tangente donnée et t son point de contact (Jig. 54). Menons parce point une corde quelconque tt1, ou C = o; et soient t1 la seconde trace de cette corde sur la

CAS D UNE COMQIIE QUELCONQUE. a83

courbe, T' = o la tangente correspondante : il s’agit d'obtenir le point t' et la droite T'.

Fin- H-

Les équations équivalentes

X, P] -t- P* -+->,Pî = o, yC — TT'= o

de la courbe rapportée d’une partait triangle donné P, P, P,, de l’antre aux droites C, T, T' que l’on vieni de définir, entraînant l’identité

p; -+- x, pi + x, p; 4-

les trois diagonales du quadrilatère P, P, P3 C sont divisées harmoniquement par l'ensemble des droites T, T'; et l’une quelconque de ees droites se peut déduire de l’autre.

Les propriétés de la figure permettent d'ailleurs, étant donnés le triangle P, P, P3 et deux quelconques des côtés ou des sommets du triangle CTT', d’en obtenir le troisième côté ou le troisième sommet.

258. Problème 1\ . — Connaissant ntl tétraèdre conjugué, un plan tangent et son point de contact : construire un point quelconque de la surface et le plan tangent qui lui correspond.

Soient T = o le plan langent donné, t son point de con-

tact. Menant par ce point une corde quelconque il s’agit d’obtenir l’extrémité t' de cette corde et le plan tangeut T' qui lui correspond.

Soient, à cet effet, o = C = C' les équations de la corde donnée tt\ ou de deux plans menés d’abord arbitrairement par cette corde.

L’équation la plus générale des surfaces du second ordre tangentes aux deux plans T, T', suivant la corde de contact 6 — C = C', étant (n° 63, p. 53)

(1) c.C> -t-c'.C'’ + 27.CC' — T.T'=ro,

la surface que nous considérons

déjà conjuguée au tétraèdre P, . . . P4, sera représentée par l’équation plus simple

si les plans C, C' qui définissent la corde tt' sont particularisés d’une manière convenable. Les équations (2), (1') peuvent donc être regardées comme équivalentes, et l’on en déduit l’identité

Or il résulte de celle-ci que les dix diagonalesde l’hexaèdre (H) P, P, P, P, GC'

sont divisées harmoniquement parles deux plans conjugués o = T = T'. Et bien que l’hexaèdre (H) soit partiellement indéterminé, cette propriété, comme nous l’allons voir, suffit à la construction du plan T'. Quatre des dix diagonales de l’hexaèdre se trouvent effectivement indépendantes de l’orientation des plans C, C', et coïncident avec les diagonales, immédiatement constructibles, de la Ji-

cas d’u» ellipsoïde quelconque. a85

g ure formée du tétraèdre P, ... P, et de la droite donnée o = C = C'. Les conjugués harmoniques, par rapport à ces diagonales, de leurs traces respectives sur le plan T, font dès lors quatre points du plan T' que l’on cherche. Ce plan T'est déterminé, et l’on a, dans sa trace sur la droite correspondante tt' , o = C = C', un second point l' delà surface considérée; dans ce plan même, le plan tangent en ce point.