QUADR ANGLES ET OCTAÈDRES CONJUGUÉS

Sommaire. — Du quadranglc conjugué à une conique, et de l’octaèdre hexagonal conjugué à une surface du second ordre. — Analogies du quadranglo et de l’octaèdre. — De la parabole circonscrite à un quadranglc donné, et du cylindre parabolique circonscrit ù un octaèdre: constructions analogues de l’une et de l’autre.

Ç I. — Des courbes contenues dans l'équation tangentie/le

v\pî=o.

259. — Les polygones simples que l’on considère dans les éléments de Géométrie y sont regardés comme définis, indifféremment par l'ordre de succession de leurs côtés ou de leurs sommets ; et il n’v a dès lors aucune différence à établir entre un quadrilatère et un quadranglc simples. Mais un quadrilatère cl un quadranglc complets (Steiher, Systcmatische Entwichelung, p. y 2) font deux figures distinctes.

La première est proprement l’ensemble de quatre droites indéfinies qui sont les côtés du quadrilatère et se rencontrent deux à deux en six points, qui en sont les sommets : ces sommets d’ailleurs, considérés deux à deux, peuvent être adjacents s’ils appartiennent à un même côté; opposés dans le cas contraire, et la droite qui les réunit est alors l’une des trois diagonales de la figure.

La seconde est l’ensemble de quatre points isolés, qui sont les sommets du quadrang/e, et que l’on peut réunir par six droites distinctes, qui en sont les côtés. Ces côtés d’ailleurs, considérés deux à deux, peuvent être adjacents

COMIQUES CONJUGUÉES A UN QUADItANC.LE. *87

s’ils se coupent en l’un des sommets; opposés dans le cas contraire, et leur point de rencontre est alors l’on des trois points diagonaux de la ligure.

L’ hexagone gauche et Y hexaèdre complets, c’est-à-dire les figures définies dans l’espace par un groupe de six points isolés ou de six plans indéfinis, donneraient lieu à des observations analogues. Toutefois, quand nous aurons à parler dans ce Chapitre de la figure formée de six points quelconques de l’espace, et des dix couples de plans opposés qu’ils déterminent, nous ferons intervenir, pour plus de clarté, l’un des octaèdres hexagonaux construits sur ces six points comme sommets, et les faces opposées de cet octaèdre reproduiront quatre de ces dix couples de plans opposés.

260. Théorème. — Si les côtés opposés d'un quadrangle complet font deux couples de droites conjuguées par rapport à une conique, ils en font trois (Hesse) ; et l’équation tangentielle de la courbe , rapportée aux sommets P, ... P» = o du quadrangle considéré, peut s'écrire

Considérons, en effet, l’une quelconque des courbes représentées par cette équation, et soit

le pôle correspondant d’une droite quelconque p%).

Si celte droite coïncide avec l’un des côtés du quadrangle de référence, on a, par exemple, o = /», = p, ; et l'équation (2) devenant, par cette substitution,

le pôle de chacun des côtés du quadrangle 1 ... -4 est un point du côté opposé. Les trois couples de côtés opposés de ce quadrangle forment donc trois couples de droites conjuguées par rapport à l’une quelconque des courbes représentées par l'équation (t). Mais il résulte des trois rapports

arbitraires contenus dans cette équation que les courbes qu’elle représente, capables encore de trois conditions nouvelles, 11e peuvent être assujetties, par leur commune définition, à plus de deux conditions distinctes. O11 doit dès lors réduire à ce nombre les trois conditionsqu’elles remplissent déjà par rapport au quadrangle de référence. El l’on peut dire, en d’autres termes, que toute conique cou juguée à deux des trois systèmes de côtés opposés d’un quadranglc est d’ elle-même conjuguée au troisième. INous dirons, dans ce cas, que la courbe et le quadrangle sont conjugués.

261. Si l’on dispose des rapports /, :À, :?.S;A4 de manière que l'équation (1) soit satisfaite par les coordonnées de trois droites issues d’un même point A, pris à volonté dans le plan de la figure, la fonction (1) sera décomposable en un produit de deux facteurs linéaires A, A'; et l’on aura identiquement

(i') x, p; + x,p;-i-x3p; q-x, p4!==aa'.

Le segment formé des points A, A' est donc divisé harmoniquement par deux queleonques des côtés opposés du quadrangle 1 ... 4; et cela entraîne la collinéation des polaires d'un point quelconque A par rapport aux trois systèmes de deux droites formés des côtés opposés d'un quadrangle quelconque.

262. Si l’un des points A ou A! disparait à l’infini dans une direction quelconque, le point conjugué A'ou A devient le centre d’une conique circonscrite au quadrangle donné. Il résulte, en effet, de l’identité (1') associée à un théorème antérieur, que toute conique passant par les points P, . . . P» = o est par cela même conjuguée aux points AA'= o (u° 159, p. i6i).Et si les points A, A' disparaissent simultanément à l’infini dans des directions déterminées, celles-ci représentent les directions diamétrales des deux paraboles circonscrites.