DE LA FIGURE FORMÉE D US QUADRAIVGLE, ETC. 28(J

§ II. — Des surfaces contenues dans V équation

-+-aA’-t-a'A'I-f- 2<x"AA'

et de la figure formée d'un quadrangle gauche et d'une droite.

263. Théorème. — La figure formée du quadrangle gauche P, . . . Pt = o et de la droite o == A = A', donnant lieu à quatre couples de plans opposes, toute surface du second ordre , conjuguée aux deux plans de. trois de ces couples, est d' elle-même conjuguée aux deux plans de la quatrième , et. sou équation peut s'écrire

(i) ^\p; + <*A’ -f-a'A'1 4-2«'AA' = 0.

Nous appelons d’ailleurs plans opposés de la figure actuelle le plan de l’un quelconque des angles du quadrangle donné et le plan conduit par le sommet opposé et la droite de la figure.

264. La démonstration et les conséquences de cette proposition sont toutes semblables à celles que l’on a développées déjà pour la proposition corrélative (n° 235, p. 265). Si l’on dispose, par exemple, des six paramètres arbitraires contenus dans l’équation (i), de telle sorte qu’elle soit vérifiée par les coordonnées de six plans conduits arbitrairement par un point quelconque B = o, la fonction (t) pourra se mettre sous la forme d’un produit de deux facteurs linéaires B, B', et l’on aura ce théorème :

Les plans polaires d' un point quelconque de l'espace par rapport aux quatre systèmes de deux plans opposés auxquels donne lieu la figure formée d'un quadrangle gauche et d’une droite, se coupent en un même point.

CHAPITKF. Vlll.

§ III. — Des surfaces contenues dans l'équation

et de quelques propriétés de l' octaèdre.

265. Si les faces opposées d'un octaèdre hexagonal font, quatre couples de plans conjugués par rapport à une surface du second ordre, il en est de même des six autres couples de plans opposés que l’on peut conduire par les sommets P, . . . P* = o de /'octaèdre; et l'équation tangenliellc de la surface peut s'écrire

Si l’on considère en effet l’une quelconque des surfaces représentées par l’équation (i), on voit que le pôle correspondant de chacune des faces de l'octaèdre de référence, 1 . . . 6, appartient à la face opposée. Les dix couples de plans opposés que l’on peut conduire par les sommets 1 ... 6 de cet octaèdre font dès lors dix couples de plans conjugués par rapport à chacune des surfaces contenues dans l'équation (i). Mais il résulte encore des cinq paramètres arbitraires contenus dans celte équation que les surfaces tju’elle représente ne peuvent être assujetties par leur commune définition à plus de quatre conditions distinctes, et l’on doit réduire à ce nombre les dix conditions qu’elles remplissent déjà relativement au groupe 12 . . . 56. Une surface du second ordre qui est conjuguée à quatre des dix couples de plans opposés que l’on peut conduire par les sommets d’un octaèdre, est donc conjuguée par cela même à toutes les autres.

266. On peut disposer de trois des paramètres arbitraires contenus dans l’équation (i), de telle sorte qu’elle se dédouble en un produit de deux facteurs linéaires, et que