SU HF ACES CONJUGUÉES A I. 'OCTAÈDRE

l’on ail identiquement

(•') y\,p; = AA",

c’est-à-dire

\ À, ( ax, -+- bjr, ■+■ cz, < /)’

æs (aï 4- br, -t-cÇ + d) (aï' -h l>r/ -+■ cï,' -)- d).

La surface se réduitalorsà un système de deux points A, À'; mais aucun d’eux ne peut être choisi arbitrairement, puisque l’équation (i') ne renferme plus que deux paramètres indéterminés. De là cette conclusion négative : « Les plans polaires d’un point quelconque de l’espace, par rapport aux dix couples de plans opposés que l'on peut conduire par les sommets d'un octaèdre, ne se coupent pas en un même point. » Toutefois si, au lieu d’ètrc pris au hasard, le pôle considéré tombe sur une certaine surface, la eollinéation de tous ces plans est assurée. C’est ce qui résulte du théorème suivant.

267. Théorème. — Tout point dont les plans polaires, par rapport aux dix couples de plans opposés que l'on peut conduire par les sommets d’un octaèdre (ou seulement par rapport à quatre de ces couples), se coupent en un meme point , est le sommet d'un cône du second ordre circonscrit à cet octaèdre , et réciproquement. F.n d’autres termes, le lieu des sommets des cônes du second ordre circonscrits à l’octaèdre P, . . . P, = o coïncide avec le lieu des points A ou S! définis par l’identité tangenlielle

(o) X, P( . .-+-X, PJ=AA’.

Celte identité entraîne, en effet, l’existence d’une même relation linéaire et homogène

(t) X.PJ 4- i,P»sso

entre les carrés des distances des sommets 1,...,6 de

l’oclaèdre à un plan quelconque (R), mené par l’un des points A ou A' qui la vérifient. Et si l’on projette les sommets précédents en V. . .6', sur un plan arbitraire (S) et suivant le point de vue A ( Jig . 55), l’identité (1) entraî-

Fig. 55.

liera de même l’existence d’une relation linéaire et homogène

entre les carrés des distances des nouveaux points 1',. . .,6'à une droite R' R' menée d’une manière quelconque dans le plan qui les contient. Les points 1', ... ,6' font dès lors six points d’une même conique (n° 129, p. 1 3 2 ) , et les droites Al', ... , A6', ou Al, . . . , A6, six génératrices d’un même cône du second ordre ayant pour sommet le point A.

268. Réciproquement, si le point A est le sommet d’un eône du second ordre circonscrit à l’octaèdre 1 . . . 6, les traces sur un plan arbitraire (S) des six génératrices Al,... A6 font six points 1', . . .,6' d’une même conique ; et les distances de ces points à une droite R' R', menée arbitrairement dans le plan (S), satisfont à une relation de la forme

(,') X'lP',’ + ...-FÀ'eïV = o.

Or les distances des points 1', ... ,6' à la droite R'R' sont, aux distances des points 1,...,6 au’ plan (R) conduit par cette droite et le sommet A, dans des rapports déterminés. La relation précédente entraîne donc l’existence

PHOPRIÉTÉS DE LOCTAÈDRE. 2jj3

d’une relation toute semblable

(ii i.pf +...+i,p; = o

entre les distances des points 1,. . .,6 à un plan (R) conduit arbitrairement par le sommet A. La surface représentée par l’équation tangentielle (i) se réduit donc à un système de deux points A, A', et l’on a l’identité

Ces deux théorèmes se vérifient aisément par le calcul.

269. Corollaire I. — Les cônes du second ordre circonscrits à un octaèdre se correspondent deux à deux, de telle manière que les sommets A, A' de deux cônes correspondants soient conjugués par rapport à l’octaèdre, et que chacun de ces sommets se puisse déduire géométriquement de l’autre. La droite AA', qui les réunit, est coupée par les dix couples de plans opposés que l’on peut conduire par les sommets de l’octaèdre, suivant dix couples de points en iuvolulion, et les points doubles de cette involution ne sont autres que les points A, A'. Telle est d’ailleurs, comme on le verra au Chapitre IX, la propriété caractéristique de la droite AA' qui réunit deux points conjugués par rapport à un octaèdre, que cette droite s'appuie , en deux points , sur la cubique gauche circonscrite.

270. Corollaire II. — Toutes les surfaces du second ordre menées par un même groupe de six points 1 , . . . , 6, ont en commun une infinité de couples de points conjugués qui sont toutes les couples de points conjugués de l’octaèdre 1 ... 6, ou tous les systèmes de deux points A, A' définis par l'identité

(0 à,p; +.. .4-ifp;== a. a'.

C’est ce qui résulte de cette identité elle-même, associée à l’un des théorèmes fondamentaux (n" 171, p. 174)- Si l’on coupe dès lors la cubique gauche 123456 par un plan

quelconque H. et que l’on prenne sur chacun des côtés du triangle résultant, l'2'3', les points doubles A, et A',, As et A'., A, et A\ de l’involution déterminée par les traces de ce côté sur les faces opposées de l’octaèdre 1 ... 6 : les traces, sur le plan choisi H, de toutes les surfaces considérées, seront conjuguées aux trois couples de points A! A’,, A, A'a, Aj A;. Mais si l’on désigne par

H, et H', ,...,ü, et H',

les traces, sur le plan H, des quatre couples de faces opposées de l’octaèdre précédent, les traces sur le même plan de toutes les surfaces considérées sont comprises, avec trois paramètres arbitraires, dans l’équation (n° 01, p. 5a)

(2) ft, H, H', +. . .-4- i», H, H', = o;

et 11e peuvent être soumises, par leur commune définition, à plus de deux conditions distinctes. Les trois couples de points conjugués qu’elles ont en commun se réduisent donc analytiquement à deux, et l'on a par suite l’identité tangentiellc

les trois couples A, A', , . . . , A„ A', se réduisant dès lors aux trois couples de sommets opposés d’un quadrilatère complet dont les trois diagonales coïncident avec les côtés 1' 2', 2' 3', 3' Y du triangle déterminé par le plan H dans la cubique gauche circonscrite à l’octaèdre. Si R,,. . . , R4 désignent d’ailleurs les côtés de ce quadrilatère, l’équation (2) est réductible à la forme

(■>.') pi R * — t— ... — t— p, RJ = o ;

et ces côtés R,, . . .,R4 représentent les quatre tangentes communes à toutes les coniques conjuguées aux quatre couples de droites H, H',,. . . ,H, H', (n° 174, p. 177).

La détermination des deux couples de points conjugués communs aux sections par un même plan de tous les ellip-

PROPRIÉTÉ DES SURFACES CIRCONSCRITES A l’oCTAÈDRE. 2g5

soldes circonscrits à un octaèdre I . . .6, est donc ramenée à la recherche des traces sur le môme plan de la cubique gauche circonscrite à cet octaèdre; ou à la construction des trois derniers points de rencontre de deux eoniques, ayant un premier point commun, et qui ne sont autres que les traces sur le môme plan de deux cônes déterminés tels que

(1,23436) et (2,13436).

On peut observer que la médiane du quadrilatère, R, . . .R,, n’est autre que la droite unique et déterminée contenue dans l’équation (2); ou la droite associée des quatre couples II, H', , . . . , H, H'(, et que l’on sait construire (n" 152, p. 107).

271. Corollaire III. — Etant donnés neuf points, 1, 2, ... ,8, 9 d’une surface du second ordre, la section de cette surface par le plan 789, déterminé par trois de ces points, est susceptible d’une définition immédiate : elle n’est autre, en elfet, qu’une conique, circonscrite au triangle 789, et conjuguée à deux couples de points que l’on peut définir en langage ordinaire ou déterminer graphiquement.

Si la donnée du groupe supplémentaire 789 est remplacée par celle du plan tangent en l'un des ombilics , cet ombilic est immédiatement déterminé et n’est autre que l’un des deux points cycliques du quadrilatère R, ... R, (Corollaire II) ; ou l’un des -deux cercles de rayon nul, contenus dans l’équation (a), et que l’on sait construire (n° 152, p. i5y).

§ IV. — De la parabole circonscrite à un quadrilatère et du cylindre parabolique circonscrit à un octaèdre.

272. Les deux problèmes ayant pour objet la détermination des éléments principaux de la parabole définie par quatre points, du cylindre parabolique défini par six, ont entre eux une analogie assez évidente par elle-mêrile, mais

ay6

dont l’analyse nous donne en quelque sorte la mesure lorsqu’elle enferme, sous une même équation Y* = la pa-

rabole et le cylindre parabolique. Il convient donc de ne pas séparer ces deux problèmes l’un de l'autre. Et quoique le premier ail été résolu déjà de plusieurs différentes manières, il ne sera pas inutile d’en donner une nouvelle solution si l’on y peut trouver quelque lumière pour cet autre problème jusqu’ici négligé par la Géométrie. Nous ne disons rien de l’analyse, car il est suffisamment connu que l’analvse s’occupe peu de constructions. En dépit des quelques preuves d’habileté qu’elle a pu donner en ce genre, et qui ne prouveraient peut-être cpte du bonheur, on convient généralement qu elle est assez impropre à ce genre de travaux, et nous peut renvoyer, sur ce point, à la Géométrie. Mais nous croyons que c’est là une erreur, et que la Géométrie, en cette matière, a peut-être moins à donner qu’à recevoir, sinon de l’analyse cartésienne, au moins de cette analyse descriptive que l’on doit à Bobillier, et par laquelle, comme on le verra, la plupart des constructions concernant les courbes et les surfaces du second ordre se ramènent à l’interprétation de quelques identités.

273. Supposons, en premier lieu, qu’il s’agisse de circonscrire une parabole au quadrangte donne 1234. Fit soient Y = o un diamètre quelconque de l’une des deux courbes répondant à la question, X = o la tangente conjuguée. L’équation

Y ’=zPX,

appliquée à chacun des points 1, 2, 3, 4, entraînant cette suite de proportions

et les distances de quatre points 1,2, 3, 4 à une droite quelcorfque, et, en particulier, à la droite X = o, étant

PARABOLE CIRCONSCRITE Ali QUADRILATÈRE. 2py

liées par une relation linéaire et homogène (2) f X, X! -i- \-j X, -I- X3 -fr- L X, - 05

• 011 a également

■(3) V)„Yj = x, Y; +u>+i,t; + ),y; = o.

El cette relation où Y,,. . . , Y* désignent les distances aux points donnés 1,. . 4 de l’un quelconque des diamètres

considérés Y = o, n’est aulre que l'équation tangeiiticlle de leur enveloppe. Mais les diamètres d’une parabole ont pour enveloppe un point à l'injini dans une direction déterminée. La courbe (3), qui est d'ailleurs de la seconde classe, se réduit donc à un système de deux points J, J' situés à l’infini — dans des directions déterminées qui représentent les directions diamétrales des deux paraboles que l’on cherche, — et satisfaisant à l’identité tangentielle

(3') VujsJ.J'.

Or il résulte de la seule forme de celte relation que deux côtés opposés quelconques du quadrangle de référence yi...yk = o, ou du quadrangle donné 1234, divisent harmoniquement le segment JJ' (n°261 , p. 28.8). Et puisque les points J, J7 sont l’un et l’autre à l’infini dans des directions déterminées, les directions diamétrales des deux paraboles répondant à la question sont harmoniquement conjuguées par rapport à deux côtés opposés quelconques du quadrangle inscrit 1234 (Lamé, Examen des differ. met h., p. 5 1).

Ces directions obtenues, on pourra mener, parallèlement à l’une d’elles, un diamètre quelconque Y = o; et la tangente conjuguée X = o se pourra construire par points, à l’aide des relations (1). On tire, en effet, de celles-ci :

Le rapport des distances de la tangente cherchée X = o à deux quelconques des points 1,2, 3, A est donc connu en nombre et en signe; on connaîtra donc les traces de cette tangente sur les droites 12, 13, cette tangente elle- * même, etc.

271. Proposons-nous actuellement , étant donnés six points d'un cylindre parabolique, d'en déterminer les éléments principaux.

i). Six conditions étant nécessaires pour la détermination d’un cylindre parabolique, par cinq des six points donnés on en pourra conduire une infinité. Soient donc Y=ro l’un quelcùlique des plans diamétraux de l’un de ces cylindres menés, en nombre infini, parles points 1, 2, ... ,5; et X = o le plan tangent conduit suivant la génératrice correspondante. L’équation

appliquée à chacun des points 1 , 2, . . . , 5, entraînant cette suite de proportions

y*.yï

et les distances de cinq points 1 , 2, . . . , 5 à un plan quelconque et, en particulier, au plan X = o, étant liées par une relation linéaire et homogène

on a également

et cette relation où Y,, . . . , Y5 désignent les distances, aux points donnés !,...,£>, de l’un quelconque des plans diamétraux considérés Y — o, n’est autre que l’équation tangentielle de leur enveloppe. Mais, comme les plans dia-

CYLINDRE PARABOLIQUE CIRCONSCRIT A l’ocTAÈDRE. 599

métraux d’un paraboloïde se peuvent déplacer parallèlement à eux-mêmes sans cesser d’ètrc diamétraux ; les plans tangents de la surface (3), avec lesquels ils coïncident, pourront se déplacer parallèlement à eux-mêmes sans cesser d’être tangents à cette surface. La surface représentée par l’équation tangenlielle (3) sc réduit donc ici à une continue située dans le plan à l'infini , et dont chacune des tangentes dirige les plans diamétraux de chacun de ces cylyndres. Or il résulte de la seule forme de l’équation (3) que le pentagone gauche 1 2 . . . 5 est conjugué à cette conique, ou que le pôle relatif du plan de chacun de ses

angles (I 2 3) appartient au côté opposé (43) :

o=y,=y,= y„ X-t-lj ,TsYi = o.

La conique (3), conjuguée au pentagone gauche

12.. . 5, est donc conjuguée aussi au pentagone plan l'2'. . .3' qui aurait pour sommets successifs les traces des côtés successifs de celui-là sur le plan de celte conique (n°70, p. 5y). Laconique (3) est donc déterminée; et si l’on imagine qu’on l’ait prise pour hase d’un cône auxiliaire dont le sommet soit en un point quelconque o de l’espace, ce cône et l’angle solide pentaèdre (o, 1'. . .5'), formé par les droites menées du point o aux sommets V, . ..,3' du pentagone déjà défini, seront conjugués : ou tels, que le plan polaire de chacune des arêtes de l’angle solide, relativement au cône, tombe dans la face opposée. Ce cône sera donc déterminé en même temps que cet angle solide; et celui-ci est connu : car les droites ol', . . . , o 3', menées du point o aux traces 1', . . . , 3' des côtés du pentagone gauche

1.. .5 sur le plan à l’infini, ne diffèrent pas des parallèles menées de ce point à ces côtés.

Ainsi les parallèles aux côtés successifs du pentagone gauche 1 2 ... 3, menées par un point quelconque o sont les arêtes successives d’un angle solide pentaèdre (o,l'...3'), lequel est conjugué à un cône déterminé

3oo

du second ordre décrit du même point o comme sommet; la trace de ee cône sur le plan à l’infini n’est autre que la conique directrice représentée par l’équation (3) : et l’un quelconque de ses plans tangents, considéré en direction, représente la série des plans diamétraux de l’un des cylindres considérés. De là ce théorème :

Les plans diamétraux de tous les cylindres paraboliques circonscrits à un pentagone donné 12... 5, transportés parallèlement à eux-mêmes en un même point de l’espace s’y disposent suivant les plans tangents d’un même cône du second ordre : le cône conjugué à l’angle solide pentaèdre qui aurait pour arêtes successives les côtés successifs du pentagone donné, transportés parallèlement à eux-mêmes en ce même point.

La construction d’une conique définie par un pentagone conjugué (u" 182, p. t85) entraîne d’ailleurs la construction du cône que l'on vient de définir.

2) . Le problème que l’on s’était proposé est maintenant résolu. Si, utilisant en effet le sixième des points donnés, ou substitue au pentagone précédent 1 2 3 45 le nouveau pentagone gauche 23 45 6, on obtiendra de même avec celui-ci un nouveau cône du second ordre, conjugué à un nouvel angle pentaèdre de même sommet que le précédent; et la direction des plans diamétraux de chacun des quatre c) lindres paraboliques passant par les six points donnés sera fournie par l’un quelconque des quatre plans tangents communs à ces deux cônes.

3) . Si l’on mène ensuite, par un point quelconque de l’espace, un plan Y = o parallèle à l’un de ces plans tangents communs, et figurant un premier plan diamétral de l u» des cylindres circonscrits; le plan tangent X = o, mené à ce cylindre par la génératrice correspondante, se construira par points à l'aide des proportions (1).

célSE OROtT CIRCONSCRIT A UN OCTAÈDRE SPHÉRIQUE. 3o I

On on déduit effectivement

X, YJ X, , __ y; x,- y;’ x3 yï’ —

Le rapport des distances du plan cherché X = o à deux quelconques des points 1 , 2, 6 est donc connu en nombre et en signe; on connaîtra donc les traces de ce plan sur les droites 12. 13, 14,. . ou ce plan lui-même.

4). Enfin, les plans conjugués Y, X étant connus, on connaît, par cela même, la direction des génératrices du cylindre correspondant Y* = 2 p~K. et six points de l’une de ses sections droites; et l'on peut, sans ambiguïté, déduire de cinq d'entre eux l’axe, le sommet et le paramètre de celte section.

Remarque I. — Le point de départ de l’analyse précédente suffirait encore à la solution de ce problème : Étant donnés quatre points et un plan tangent X = o d'un cylindre parabolique, construire le plan diamétral Y — o relatif an plan tangent donné, et tous les éléments principaux de la surface.

On a, en effet, actuellement

et l’on en déduit

Les rapports des distances du plan diamétral que l'on cherche, Y = o, aux points 1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, sont connus en nombre; et l’on peut construire les traces de ce plan sur chacune des droites 12, 13, 14 : ou ce plan lui-même susceptible ici, à cause de l’ambiguïté de signes, de huit déterminations distinctes.

Remarque II . — Étant donnés cinq points d' un cylindre

3oa

parabolique et l'un de ses diamètres , ce cylindre est susceptible de deux déterminations distinctes <|ui correspondent aux deux plans tangents distincts que Von peut mener cône auxiliaire du n° i), parallèlement an diamètre donné.

275. Il existe une dépendance singulière entre le problème que l’on vient de résoudre et celui qui aurait pour but de circonscrire à un octaèdre un cône de révolution, dans le cas, au moins, où l'octaèdre donné serait inscriptible à la sphère. Les deux problèmes, effectivement, se résolvent alors à l’aide des mêmes constructions, parce que les plans diamétraux des quatre cy lindres paraboliques et les plans cycliques des quatre cônes de révolution , que l'on peut circonscrire à un tel octaèdre, se confondent.

i). Imaginons, pour le démontrer, la série des cônes de révolution menés, en nombre infini, par cinq des sommets de l'octaèdre ; et soit

l’équation de l’un de ces cônes : X, Y, Z désignant trois plans rectangulaires quelconques menés par le sommet ; P le plan mené, du mètuc point, perpendiculairement à l'axe du cône. Soient, en outre,

(3) Rr=o

les équations de la sphère circonscrite à l’octaèdre et du plan radical commun à cette sphère et au sommet du cône (i), assimilé à une sphère de rayon nul:

Si l’on retranche l’une de l’autre les équations (i), (a), l’équation résultante pourra s’écrire, d’après l’identité (4)»