AXE ET SOMMET DE CE COKE

équation d’uu cylindre parabolique passant par les cinq points considérés, et dont, les plans diamétraux se confondent avec les plans cycliques P = p du cône (i).

Les plans diamétraux de tous les cylindres paraboliques et les plans cycliques de tous les cônes de révolution conduits par les sommets d'un meme pentagone sphérique forment dès lors une seule et même série, ou deux séries coïncidentes; et l’on peut dire, en transportant aux uns ce que l’on a démontré des autres, que « les plans cycliques de tous les cônes droits dont il s'agit sont tangents à une conique déterminée, située dans le plan à l’infini et conjuguée au pentagone gauche 1 2. . .5. »

2) . Les plans cycliques du cône droit circonscrit à l’octaèdre sphérique 12... 56, seront dès lors susceptibles du même mode de détermination que les plans diamétraux du cylindre parabolique circonscrit au même octaèdre; et leur commune direction sera fournie par l’un des quatre plans tangents communs à deux cônes du second ordre que l’on sait construire (n° 274, 2).

3) . Les plans cycliques de l’un des cônes droits cjue l’on cherche étant connus de direction, il reste à en trouver la position absolue dans l’espace, ou à déterminer Y axe et le sommet, du cône 1 2. . .6. A cet effet, rapportons ce cône à l’octaèdre inscrit 1 . . .6 par une équation de la forme

et coupons-le par un de ses plans cycliques P = p ; la srctiou résultante sera représentée, dans son propre plan, par une équation semblable

D’ailleurs celte section est un cercle, et tous les cercles contenus dans celte équation ont une corde commune que l’on

sait construire (n°152, p. i5y). On déterminera dès lors les quatre couples de droites F, Q', , . . . , P', Q'( qui résultent des traces d’un premier plan cyclique sur les faces opposées de l’octaèdre 1 . . .6; et construisant deux des cercles associés de ces quatre couples de droites, ainsi que leur cordc commune ah : on aura, dans le plan mené perpendiculairement à celte corde, par son point milieu, un premier plan contenant l’axe du cône. Une construction semblable, effectuée dans un autre plan cyclique P = p/, eu fournirait un autre; et l’on aurait successivement l’axe du cône, le centre et deux points de deux de ses sections circulaires, ces sections elles— mêmes et le sommet du cône.

276. Une autre détermination de la parabole définie par quatre points résulte de la comparaison des deux formes

AC -H BD = o, Y1 -4- X = O :

la première, déduite du quadrilatère inscrit AHCD =o; la seconde, du genre de la courbe. Ces équations entraînent en effet l’identité

(r) AC+BD +Y’+X = o,

et celle-ci la suivante :

dans laquelle

désignent cinq droites concourantes, respectivement parallèles aux premières

Or il résulte, de l’identité (i'), que les droites A'C'^o, B'D'=o, Y'Y' = o

font trois couples de rayons conjugués d’un même Jaisceau en invohition dont l’un des rayons doubles tombe dans

AUTRE DÉTERMINATION DE LA PARABOLE CIRCONSCRITE. 3o5

la commune direction des droites coïncidentes Y'. Y' = o (n° 73, p. 59).

1) . « Les directions diamétrales des deux paraboles circonscrites au quadrilatère ABCD = o coïncident donc avec les rayons doubles du faisceau en involulion défi n i par les deux couples de rayons conjugués A'C' et B'D', ou AC et BD. »

2) . Mais on peut aller plus loin et préparer la détermination des éléments principaux (foyer et directrice) de chacune de ces paraboles en déterminant leurs tangentes communes et leurs points de contact respectifs sur ces tangentes.

L’identité initiale

(1) AC + BD+Y’+X=o

se dédoublant, en effet, dans les équations équivalentes

(2) , o = ÀC-t- Y5=^BD H-X;

si l’on imagine que le diamètre Y = 0, dont la direction est seule déterminée, passe ( Jig . 56) par le point AC = o ,

on reconnaît aussitôt, dans la courbe représentée par l’une

ou l’autre des équations (a), un système de deux droites B', D', issues de ce point, parallèles aux côtés B, D du (juadrangle proposé et dont les traces réciproques sur ces côtés D, B appartiennent à la tangente correspondante X = o :

B'D' = BD -t-X, X = B' D' — BD.

La droite qui réunit ces traces, BD' et DB', ou la seconde diagonale du parallélogramme B'D'BD, représente donc, pour les deux paraboles à la fois, la tangente conjuguée des diamètres de ces courbes qui passent par le point AC = o. Opérant de même pour le point BD = o, chacune des deux paraboles que l’on cherche se trouvera définie par deux couples formées d’un diamètre et de la tangente conjuguée. Donc, etc.

277. Une semblable détermination du cylindre parabqlique défini par six points, ou circonscrit à l’un des octaèdres qu’ils déterminent, résulterait de même de l’équation générale des surfaces du second ordre circonscrites à un octaèdre, comparée à l’équation particulière du cylindre qu’il s’agit de déterminer. Ces équations

P,jQ, = o, Y’ -+- X = o

entraînent, en effet, l’identité

(i) " Vp,Q,+Y'+X = o,

et celle-ci la suivante :

(«') ^PjQ'.+Y'’==o,

où

désignent les plans des faces opposées de l’octaèdre,, et le

autre détermination du cylindre parabolique circ. 307 plan diamétral cherché, transportés parallèlement à euxmêmes en un môme point de l’espace.

Or il résulte de l’identité (i'), associée à un théorème antérieur (n° 159, p. 161), que l’on peut voir, dans le plan Y' un plan tangent, et dans les quatre couples ly, Q’, ..... P( Q'4 quatre couples de plans conjugués communs à une infinité de cônes du second ordre.

Mais les cônes conjugués à quatre couples de plans ont en commun quatre plans tangents que l’on peut construire (n°175, p. 178). Le plan Y', défini par l’identité ( i'), admet dès lors quatre déterminations distinctes, que l’on peut obtenir, et qui 11e sont autres que les plans diamétraux des quatre cylindres répondant à la question.

Une fois obtenue la direction des plans diamétraux. 011 peut construire la section du cylindre par un plan quelconque Y = 0 parallèle à cette direction. Cette section n’est autre, en effet, que la droite définie par les équations simultanées

ou le lieu des centres des coniques conjuguées aux quatre couples de droites qui résultent des traces des faces opposées de V octaèdre sur le plan diamétral considéré (n° 152, p. 157). On aura donc, dans celte droite que l’on sait construire, une génératrice du cylindre cherché.

Mais cette dernière partie du problème se peut traiter autrement. Car si l’on associe par la pensée le plan à !' infini au plan représenté par l’une ou l’autre des équations équivalentes

le plan polaire du point

par rapport au plan X assimilé à une surface du second

ordre, se trouve représenté par l’équation

( ït) ( P2Q1 ■+■ — 0

et passe d’une manière évidente par le point de concours des plans polaires du précèdent y, par rapport aux dièdres

Le segment rectiligne y, ) , qui réunit ces deux points, sera donc divisé harmoniquement par le système formé du plan X et du plan à l’infini : ce qui veut dire que le seul plan X divise ce segment en deux parties égales, ou que le point milieu m, de ce segment appartient au plan X. On pourra donc déterminer, par le seul emploi de la règle,, quatre points de ce plan, ce plan lui- même et une première génératrice du cylindre.

278. On peut rattacher à cette dernière détermination du cylindre parabolique défini par six points, celle du paraboloïde de révolution circonscrit à un octaèdre. Telles sont en effet les dépendances existant entre les deux problèmes que si l’on transporte, parallèlement, à eux-mèmes, au rentre d’une sphère, les plans diamétraux des quatre cylindres paraboliques et les axes des quatre paraboloïdes de révolution que l’on peut circonscrire à un même octaèdre : les droites et les plans ainsi obtenus déterminent les points cycliques et les côtés d’un même quadrilatère sphérique. L’équation générale

des surfaces circonscrites à un octaèdre, rapprochée de celle

du parabololde de révolution que l’on cherche, entraîne

PARABOI.OÏDE DE RÉVOLCTION CIRCONSCRIT A l’oCTAÊDRE. 3ûp

effectivement l’identité

(3) ^ X.P.Q.ssX’-t-Y’ + Z,

et celle-ci la suivante :

où F, , Q1, , . . . désignent les faces opposées de l’octaèdre transportées parallèlement à elles-mêmes autour d’une même origine o; et, X', Y', les faces d’un dièdre droit, susceptible de tourner arbitrairement, autour de son

arête oz, comme le dièdre parallèle XY. Or il résulte, de l'indétermination du dièdre X' Y' associée à l’identité (4), que tous les cônes du second ordre conjugués en nombre infini aux quatre couples de plans P'.Q',,. . sont

vus, de l’arête oz, sous un dièdre droit. Tous ces cônes admettent d’ailleurs quatre plans tangents communs, R, , . . . , R t (n°175, p. 1 78), lesquels représentent, comme on vient de le voir, les plans diamétraux des quatre cylindres paraboliques que l’on peut circonscrire à l’octaèdre. Si donc on imagine une sphère décrite du point o comme centre, les cônes précédents y traceront une série de coniques, inscrites au quadrilatère R, . . . R,, et vues sous un angle droit du point z, trace sphérique de l’axe cherché oz. Or trois des coniques de la série se réduisant aux diagonales du quadrilatère R, . . . R4; chacune de ces diagonales est vue, sous un angle droit, du point cherché z. Et si l’on construit, sur chacune d’elles comme base, un segment capable d’un angle droit; les quatre points communs aux trois coniques sphériques résultantes fourniront, en même temps, les quatre points cycliques z du quadrilatère R, ... R, et les axes oz des quatre paraboloïdes de révolution que l’on peut circonscrire à l’octaèdre, ou les pôles sphériques de leurs sections circulaires.

3io

Ce premier point obtenu, le problème s’achève aisément par la règle et le compas; car deux quelconques des sections circulaires de l’un de ces paraboloïdes, représentées dans leur propre plan par des équations de la forme

se trouvent partiellement définies par deux de leurs points a et b , a' et b' : et les plans menés par les points-milieux des cordes résultantes ab , a' b', perpendiculairement à ces cordes, se coupent suivant 1 ’ axe du paraboloïde (n° 152, p. i57).

Scolie. — L’analyse précédente s’applique d’elle-mème, en se simplifiant, à la recherche du paraboloïde de révolution défini par un tétraèdre conjugué.

PROPRIÉTÉS DE HUIT POINTS ASSOCIÉS

Sommaire. — Des surfaces du second ordre menées par un même groupe de sept points, et du huitième point commun à toutes ces surfaces. — Constructions diverses de ce huitième point. — Cas d'indétermination, et translation du théorème plan de Desargues à la ligure formée de huit points d'une cubique gauche; construction du cercle osculateur, ou de la sphère osculalrice en un point d'une telle courbe; et détermina* tion du cylindre du second degré circonscrit à un hexaèdre.

§ I. — Du huitième point et de sa détermination graphique. Théorème de M. Lamé, et construction correspondante, de M. Hesse.

279. Nous avons vu déjà (n° 175, p. 178) que toutes les surfaces du second ordre que l'on peut conduire par un même groupe de sept points, passent d’elles-mémes par un huitième point déterminé (Lamé, Examen des dijfér. Méth., p. 38) -, et que les distances P,, . . . , Pg de ces huit points à un plan quelconque satisfont à l'identité caractéristique

(i) ^ PJ = 0 (n° 139, p. i42)-

Il reste à déduire de cette identité la construction du huitième point d’après les sept autres; et c’est à quoi d’abord il paraît possible de parvenir de trois manières différentes tirées des trois différentes manières de décomposer l’identité (t) en deux équations équivalentes. Le problème admet effectivement trois constructions distinctes : la première qui s’effectuerait dans l’espace, mais que nous n’effectuerons, en réalité, qu’en la ramenant à la troisième (n°285);

3ia

la seconde qui s’effectue dans le plan avec une simplicité suffisante (n°282); la troisième enfin qui se réalise dans l’espace même où le problème est posé et qu’un illustre géomètre a pu réduire à la mise en œuvre des éléments mêmes de la question, c’est-à-dire des points donnés et des droites ou des plans qu’ils déterminent. Nous reproduirons la solution de M. Hesse, en y apportant d’ailleurs quelques changements de nature à en faciliter l’accès; car, si la conclusion en est d’une admirable simplicité, la méthode même de l’auteur ne laisse pas d’être assez difficile à suivre, plus encore à retrouver. Ce n’est pas synthèse pure cependant, puisque l’on est d’accord que l'invention procède seulement par voie d’analyse; mais, peut-être, n’y a-t-il là que cette sorte d’analyse dont les plus grands géomètres se servent quelquefois, et que nous nommons synthèse; n’y voyant qu’une suite d’heureuses inspirations dont l’enchaînement nous échappe, mais dont le résultat égale ici tout ce que la géométrie nous offre de plus beau ( Nouvelles Annales de Mathématiques , 1 855 , p. 192).

280. Si r on sépare d'abord le premier membre de l’identité tangentielle

en deux parties composées l’une de six, l’autre de deux carrés; les équations équivalentes qui en résultent

yy—o, ^Pî+hP^o

représentent un même système de deux points, réels ou imaginaires , mais simultanément conjugués aux deux points 7, 8 du second groupe et à l’octaèdre 123 456 déterminé par les six points du premier (n°265, p. 290). Telle est, par suite, l’expression des dépendances qui existent entre huit points associés : que deux quelconques d'entre eux

PROPRIÉTÉS DE HUIT POINTS ASSOCIÉS. 3 1 3

et les traces de la droite qui les réunit sur les faces opposées de l'octaèdre déterminé par les six autres , font toujours cinq couples de points conjugués ou dix points en involution .

D’après ce théorème, la détermination du huitième point se réduirait à la solution du problème suivant, qui admet toujours une solution, et une seule, et que nous résoudrons plus loin, bien que d’une manière indirecte : mener par un point donné (7) une transversale qui coupe les faces opposées d'un octaèdre (12 3 45 6) suivant quatre couples de points en involution.

281. Si l’on sépare ensuite le premier membre de l’identité X,P) = o eu deux parties composées l’une de cinq, l’autre de trois carrés; les équations résultantes

XXc Pl=o

représenteront encore une seule et même surface doublement conjuguée au pentagone gauche 12345 (n° 70, p. 56) et au triangle 678, comme cela résulte de la forme même de ces équations. Mais il résulte du nombre des variables contenues dans la dernière, que cette surface se rédnit à une conique située dans le plan 67 8 et simultanément conjuguée à ce triangle, au pentagone gauche 12... 5 et dès lors aussi au pentagone plan 1 2. . .5 qui aurait pour sommets successifs les traces des côtés successifs de celui-là sur le plan 6 7 8 (n° 70, p. 57). Telle est donc aussi l’expression des dépendances qui existent entre huit points associés : que le triangle 6 7 8 déterminé par trois quelconques de ces- points et le pentagone 12343 ayant pour sommets successifs les traces sur le plan de ce triangle des

côtés successifs du pentagone gauche 123 4 5 déterminé, par les cinq autres, sont toujours conjugués à une même conique.

282. Pour déduire de ce théorème la construction du huitième point, nous modifierons d’abord la notation précédente et nous désignerons par x, y , z, 1,2, 3, 4 les sept points donnés; par 5, le huitième point (ju’il s’agit de construire.

i). Soient, à cet-cffet,

les côtés du triangle donné xyz, et

(i) 6YJ+ eZJ= o

l’équation de cette conique que le théorème précédent nous

montre comme conjuguée à la fois au triangle de référence

xyz , au pentagone gauche 1 2. . . 5 et au pentagone plan