PREMIÈRE CONSTRUCTION DU HUITIÈME POINT

par ses trois premiers sommets 1,2, 3 et un point du côté suivant 45 : le point o suivant lequel la diagonale 1 4 du pentagone gauclie I 2. . .5 coupe le plan xyz. Mais ces éléments se séparent d’eux-mêmes en deux couples de points conjugués par rapport à la courbe (i), les points 1 et 3, 2 et o. On connaît donc un triangle conjugué xyz et deux couples de points conjugués 1 et 3, 2 et o de la courbe (i). Cette courbe est implicitement déterminée par ces conditions, et elle détermine à son tour les polaires 3 4, 45, 51 des sommets 1, 2, 3 du pentagone conjugué 12. . .5, et ce pentagone lui -même dont les derniers sommets 4, 5 déterminent enfin les derniers côtés 1 5, 44 et le cinquième sommet du pentagone gauche I . . .5, ou le huitième point.

2). Il reste toutefois à montrer, une conique étant définie par un triangle et deux couples de points conjugués (o,2), (1,3), commenton détermine la polaire de l’un de ces points, tel que 1 : ou, puisque cette polaire passe déjà par le points, comment on en détermine un nouveau point 1'.

Imaginons, à cet effet, une série de coniques conjuguées au triangle xyz et au groupe (o, 2), ou conjuguées aux quatre couples de points

xy, yz, z.r, » 2.

Les polaires du point 1, par rapport à toutes ces coniques, concourent en un même point 1' défini, comme l’on saii (n° ItH), p. 162), par l’identité tangentielle

(/) XY -t- YZ -4- ZX -t- P, P,== P, P',

que l’on peut écrire

(/') X Y -t- YZ -t- ZX = P„ P, — P, P', .

Les équations tangcntielles équivalentes (2) XY -t- YZ + ZX = o,

(2') P.P,-P,PV=0

3l6 CHAPITRE IX.

rcprésenlent donc (Jig. 53) une seule et même conique inscrite au triangle .ryz et au quadrangle o 1 2l'. On connaît

Fig. 58.

cinq tangentes distinctes

Xz> *■*> 0l> 12

de cette conique auxiliaire (2) ou (a'); et, si on lui mène par les points o et 2, deux nouvelles tangentes ol', 2 1', leur point de concours i' sera conjugué au point 1 par rapport à toutes les coniques de la série et spécialement par rapport à la courbe (1) qui en fait partie. On aura donc deux points distincts l' et 3 de la polaire du point 1 par rapport à cette dernière courbe : cette polaire elle-même, ou le côlé34 = 31'du pentagone conjugué 123 45, etc.

On voit que la construction du huitième point se réalise presque tout entière dans le plan xyz de trois des points donnés, et 11’exige que l’emploi répété de ce problème linéaire : « mener à une conique une sixième tangente, par un point donné sur l’une des cinq tangentes qui la déterminent. »

283. Remarque. — La solution précédente paraîtrait en défaut et le huitième point serait réellement indéterminé, si le point 1' (Jig. 58) se confondait avec le point 3, ou si le triangle xyz et le quadrangle o12 3 (fig. 07) se trouvaient circonscrits à une même conique. Le huitième point est donc indéterminé lorsque le triangle