Bc+Ci) -i- p'(C« 4- Ac) -t-y'(Ai-4-B«) = o

011 reconnaît qu’elle est symétrique par rapport aux coordonnées courantes A, B, C et à celles n, b, c du point de contact. Ces coordonnées peuvent donc s’échanger les unes dans les autres, et l’équation de la tangente peut s’écrire

(O «y; (a, B,c) + i/; + cyï=o.

13. Théorème, — L'équation de. la polaire d'un point quelconque (a, b, c), par rapport à une courbe du second ordre

PRÉLIMINAIRES

est identique à l'équation de la tangente pour ce même point (a, b, c) que l'on supposerait situé sur la courbe.

Considérons d’abord un point extérieur à la courbe (Jig-6), et soit («,, b,,ct) le point de contact de l'une ijncl-

Fig. G.

» abc

conque des tangentes issues de ce point. L’équation de celle tangente pourra s’écrire

et comme le point (a, b, c) appartient à «elle tangente, l’on aura

"c f'a (" , !•,<■) + b, fh -I- c, /’ o.

Or celle égalité exprime «pie la droite

(P) Af'^a, b, c)-t-B/;-l-C/;=:o

contient le point de contact («f, bt, c,) de chacune des tangentes menées à la courbe par le point [a, b , c). La droite (P) est donc la corde de contact de ces tangentes, ou la polaire de ce point.

Quelle que soit, en second lieu, la position intérieure ou extérieure du point (a, b , c), la droite (P) est le lieu géométrique des points de concours des tangentes menées à la courbe par les traces sur celle-ci d’une coide quelconque issue du point considéré : ou la polaire même de ce point.

Car, si (o,,Z),,c,) est l’un de ces points de concours

(fi g- 7), la corde de contact des tangentes issues de ce point sera représentée par l’équation

que l’on peut ordonner par rapport à a ,, b,, c, de cette manière.

Et puisque celte corde passe par le point (a, b, c), on a , ii, fa(a, b,c) 4- è, fh -4- c, /; = o.

Fie- ;•

. I jp

Or celte égalité exprime que la droite

passe par chacun des points de concours, tels que («,, c,).

La droite représentée par cette équation est donc le lieu géométrique de ces points de concours, ou la polaire du point (a, b, c).

H. L'équation de la polaire d'un point quelconque

(a, b . c, d ) , par rapport à une courbe du second ordre

représentée par l'équation homogène

est identique à V équation de la tangente pour le point (rt, b, c, d....) que l'on supposerait situé sur la courbe; et

PRÉLIMINAIRES

peut. s'ccrire in différemment

Af («, b, c, d,. . .)+ b/; + c/; + d/; + . .. = o,

®> 6, ®>" ■ •) + b fK H- c fc -+- d ■+•... — O.

La démonstration ne diffère en rien de la première, et repose, comme celle-là, sur l'identité des deux formes précédentes pour toute fonction homogène et du second drgré, f d'un nombre quelconque de variables A, B, C, D, . ..

15. La polaire du point (a; b). par rapport au système de deux droites

AB = o,

sera donc

Ai + Bo = o,

la polaire et la droite - = o, menée du pôle au

point de concours des .deux proposées, sont harmoniquement conjuguées par rapport au système de ces droites.

§ III. — Des coordonnées polyèdriques d'un point, mo- . bile rapporté à un nombre quelconque de plans fixes. Équation du plan.

16. La situation d’un point quelconque de l’espace, définie dans le système cartésien par les distances x,j , z de ce point aux plans des faces d’un trièdre fixe, peut encore être définie d’une manière plus générale par les distances A, B, C, D, . . . du point considéré aux plans des faces d’un polyèdre quelconque que l’on dit de référence. Ces distances sont alors les coordonnées polyédriques du point, et leurs signes sont tels, d’ordinaire, que, toutes négatives par exemple pour un point intérieur au polyèdre de réfé-

Cn A PITRE PREMIER

rence, chacune d’elles passe par zéro et change de signe, lorsque le point considéré atteint cl dépasse le plan de la face correspondante du polyèdre.

17. Si les plans de ces diverses faces sont eux-mcmcs représentés, par rapport à un certain système d’axes ox, oy , oz , par des équations telles que

A = ax -+- by -f- cz -4- d — o, B — a'x-y b' y -y c'z-h d'— o,...,

les coordonnées polyédriques du point ne seront

autres que les nombres

A, — a.r, + by, 4- cz, d, B,= ti'x, 4- b' y, 4- d z, -y d',... ,

résultant de la substitution des coordonnées cartésiennes de ce point dans les fonctions A, B, C,... relatives aux plans des diverses faces du polyèdre de référence; et leurs signes varieront, avec la position de ce point, conformément à ce théorème :

Les coordonnées de deux points distincts 1,2, substitués dans la fonction d'un plan

A = ax -y Ly -y ci -y d = o,

lui font acquérir des valeurs ax, -4- by, -4- cz, -+- d , ax, -y bj ,-y cz, -y d, de meme signe ou de signes contraires, suivant que les points considérés sont d'un même côté ou de part et d'autre de ce plan.

18. Si le trièdre des axes auxiliaires ox, cjr, oz est trirectangle, et si les fonctions A, B, C, D,... sont de la forme

A — X cos si -y y cos p 4- z cos y — a,

B = x cosa'-yy cosfS’ -y zcosy1 — a ,

les coordonnées polyédriques A,, BM Ci,... d’un point quelconque mesurent ses distances orthogonales aux plans des diverses faces du polyèdre; chacune de ccs distances étant : positive pour un point situé du côté opposé à l’ori-

PRÉLIMINAIRES

gine o par rapport au plan de chacune de ces faces; négative pour un point situé du même côté que l’origine dont les coordonnées o = x = y = z font acquérir à toutes ces fonctions des valeurs négatives — u, — vs',. . .

19. Les coordonnées polyédriques d’un point ne sont pas indépendantes les unes des autres; mais, dès que trois d’entre elles sont données, toutes les autres en résultent.

Par exemple, les coordonnées tétraédriques (et orthogonales) A, B, C, I) d’un point quelconque in sont liées par la relation

(/•) — a A — è B — cC — rfD = 3V,

dans laquelle a, ô, r, de t V désignent les aires des faces et le volume du tétraèdre de référence. C’est ce qui résulte de l’égalité

pyramide mBCD -f- mCDA 4- mDAB -t- m ABC = pyr. ABCD.

L’expression a A 4- ôB 4- cC 4- r/D, où les lettres a, b , c, d conservent la signification précédente, n’est donc qu’une fonction apparente des trois variables x, y, z; et l’équation

fi A -t- b B 4- c C 4- f/ D “ o

se réduit, en réalité, à une constante égalée à zéro : 3 V = o.

20. Toute équation du premier degré par rapport aux coordonnées polyédriques d’un point est aussi du premier degré par rapport aux coordonnées x, y, z du point mobile, et représente un plan.

21. Réciproquement, un plan quelconque peut être représenté par une équation linéaire et homogène de la forme

ni A 4- «B 4- p C 4- 7 D 4- . . . — o .

Ce mode de représentation étant d’ailleurs unique, ou susceptible d’une infinité de déterminations, suivant que l’on

y emploie un tétraèdre de référence, ou un polyèdre cjueleonque.

Dans le cas d’un tétraèdre (ftg. 8), l’équation précédente Fig. 8.

résulterait de l’élimination des constantes V, V' entre l’identité

(r) — n\ — b B — cC — r/D := 3 V,

et l'équation que l’on obtient en faisant R = o dans la relation

(/•') — a'A — è'B — r'C— </D — rR = 3V' :

relation existant entre les distances orthogonales A, B, 0, D et R d’un point quelconque aux faces du tétraèdre de référence, ou au plan considéré R ; et dans laquelle a', //, c', d, r et V' désignent les aires des faces et le volume du tronc de pyramide détaché par ce plan dans le tétraèdre.

22. Si le plan R -= o passe par l’un des sommets ( A.B.C) du tétraèdre de référence, les deux équations équivalentes

R = o et »A+«B+/)Cr:o entraînent l’identité

mA + »B+/)C + rRso.

Jl existe donc une relation linéaire et homogène entre les distances d’un point quelconque de l’espace à quatre plans qui concourent en un même point.

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