SECONDE CONSTRUCTION DU HUITIÈME POINT

côtés impairs xy, zX, YZ du premier. Et comme la rencontre des droites x'y' , xy est assurée par leur commune

situation dans le plan b de l’un des angles de l'hexagone initial abc a' b' c' , il nous suffira d’établir la situation en un même plan des droites x'y' et zX, x'y' et YZ, ou seulement des deux dernières. Bornons-nous donc à établir que les droites x'y' et YZ se rencontrent , ou que les quatre points x',y\ Y, Z sont dans un meme plan.

2) . A cet effet, considérons, avec M. Hesse, la surface du second ordre que le théorème précédent nous montre comme conjuguée à chacun des tétraèdres

abcd, a' b'c'el'-,

et cherchons d’abord, par trois de ses points, le plan polaire correspondant P du point

p — (an' , cdc ) , .

trace de la droite aa' sur le plan cdc' .

Le point p appartenant à la droite qui réunit les sommets a, a' des deux tétraèdres, le plan P passe d’abord par la droite ( bcd , b'c'd'), intersection des plans polaires de ces sommets par rapport à la surface •, et il est aisé de voir, sur la figure, que cette droite renferme : i° le point Y qui n’est autre que la trace sur le premier de ces plans bcd, d’une droite b' c' située dans le second; 2° le point y', intersection du second de ces plans b'c'd' et d’une droite bc située dans le premier. Le point p appartenant en outre au plan cdc', mené par l’arète cd du premier tétraèdre et le sommet c' du second; le plan P contiendra, en outre, le point [ab,a' b' d') ou x' . Le plan polaire

est donc défini déjà par trois de ses points.

3) . Mais M. Hesse nous montre que l’on peut en déter-

miner un quatrième. Et c’est d’ailleurs dans cette détermination par excès , comme dans le choix de ce dernier élément, que réside le nœud de la question.

Pour l’obtenir, nous quitterons un moment la route tracéf par l’illustre géomètre, en utilisant un théorème antérieur sur les propriétés homologiques auxquelles donnent lieu un triangle quelconque de l’espace et le trièdre qui lui est conjugué (n° 180, p. 181). Les côtés du triangle coupant en effet les faces homologues du trièdre eu trois points en ligne droite, il en résulte, les plans polaires des deux premiers sommets du triangle étant supposés connus, que l’on peut en déduire un point du plan polaire du dernier. Appliquant celte observation au triangle

et au trièdre conjugué

| bcd, a'b'd', P |,

nous pourrons, en laissant de côté le plan polaire P et le traitant comme s’il n’était déjà connu, en obtenir un nouveau point //situé sur la droite ac' , et distinct dès lors de ceux que nous çonnaissons déjà. Effectivement, les traces des côtés du triangle précédent sur les plans des faces homologues du trièdre conjugué, savoir :

(1) c'p bcd,

devant se trouver en ligne droite; la droite menée par les deux premières de ces traces coupera le troisième coté ac' suivant la troisième, ou suivant un nouveau point p' du plan P. Or, puisque le point p appartient, par définition,

SECONDE CONSTRUCTION DU HUITIEME POINT. 3a I

au plan c' cri (fig- 60), la première de ces traces (i) n’est autre que le point de concours, désigné sur la figure par la

Fig. Go.

lettre <y, des droites c' p, cd. Puisque le point p appartient à la droite an', la seconde (a) n’est autre que le point a' luimême; et le nouveau point p' que nous cherchons n’est autre que le suivant :

p' = ad a' q ,

ou encore, puisque le point < j appartient à la droite cd,

p' — ac' a' cd ; ou enfin, sur la fig. 59,

Les quatre points x', y' , même plan

donc, etc.

Y, Z appartiennent zx'y’ YZ;

donc

à un

286. Observation I. — La construction précédente est en défaut lorsque le septième point d est tellement situé par rapport aux six autres a, b, c, a', b', c', que l’hexagone xyz XYZ cesse d’être gauche. Nous reviendrons plus loin sur ce cas singulier et sur les circonstances précises dans lesquelles il se produit.

Observation II. — On peut présenter autrement la construction précédente, et de manière à en éliminer toute considération synthétique.

Remarquons pour cela que si les sept points donnés «, b , c, a',b',c',d appartenaient à une même cubique gauche, le huitième point d' serait partiellement indéterminé et pourrait être pris arbitrairement sur cette courbe. Chacun des deux derniers points </, d ' serait alors le sommet d’un cône du second ordre circonscrit à l’hexagone gauche abca'b'c1 . Or le théorème de Pascal transporté, par la perspective, de l’hexagone plan inscrit à une conique, à l’hexagone gauche abca'b'c' inscrit à un cône de sommet d (ou d'), montre que les droites xX, y Y, z Z (ou x'X', . . .) conduites par ce sommet, de manière à s’appuyer sur les côtés opposés de l’hexagone inscrit abca'b'c ', tombent dans un même plan. Dans le cas supposé, les deux hexagones secondaires ( jig . 59, p. 3 18) xyz XYZ, x'y' z'IL'Y'ZS seraient donc plans l’un et l’autre, et leurs douze côtés appartiendraient à une même surface du second ordre réduite à l’ensemble de deux plans. Passant ensuite de ce cas singulier au cas ordinaire, il serait naturel de supposer que les côtés des deux hexagones secondaires font, dans le nas général, douze génératrices d’un même liyperboloïde ; et l’on verrait, comme tout à l’heure, que la vérification de cette hypothèse se réduit à établir la situation en un même plan des quatre points x',y', Y, Z : ou la collinéation, suivant un même point p, de leurs plans polaires par rapport à cette surface S que nous savons être conjuguée à chacun des tétraèdres abcd , a'b'c'd'. Or les plans polaires des trois premiers x\ y', Y sont respectivement ede', ada', a' d' a ; et leur point de concours n’est autre que la trace, désignée déjà par la lettre p, de la droite aa' sur le plan cdc'. Il reste donc seulement à établir que le plan polaire du quatrième,Z, passe par p ; ou, inversement, que le plan polaire de p passe par Z; et comme le point Z appartient à la