CAS D* INDÉTERMINATION DU HUITIÈME POINT

droite ac', c’est à quoi l’on devra parvenir en déterminant la trace de cette droite sur le plan polaire du point p, a l’aide des propriétés homologiques du triangle pac' et du trièdre formé des plans polaires de ses trois sommets.

§ II. — De V indétermination du finilième point , et du théorème de Desargues transporté, de six points d'une conique , à huit points d'une cubique gauche.

287. La construction donnée au n° 282 est en défaut, et le huitième point , comme nous l’allons voir, est réellement indéterminé , lorsque le triangle xyz, formé de trois des sept points donnés, et le quadrilatère d 23 4 ayant pour sommets successifs les traccsf sur le plan de ce triangle, des côtés successifs du quadrangle 1234 formé des quatre autres, se trouvent circonscrits aune même conique (n°283). S’il en est ainsi ( ftg , 61) , ce même triangle xyz et l’un

Fig. fil.

quelconque de ceux que l’on peut former avec trois des côtés du quadrilatère 123 4, le triangle 1 4 3', par exemple, sont, encore circonscrits à une même conique. Par un théorème connu (n° 197, p. 209), leurs sommets

font six points d’une seconde conique; et les droites me-

nées, de ces points, au sommet 1 du tétraèdre 1 2 34, six génératrices d’un même cône du second ordre. Or il est aisé d’apercevoir , dans les trois dernières , les arêtes mêmes 1 2, 1 3, i 4 de ce tétraèdre. Le premier 1 des sept points

représente donc le sommet d’un premier cône du second ordre passant par les six autres; et, en vertu de l'hypothèse, il en est de même de chacun des points 2, 3, 4. Les sept points considérés appartiennent donc à une même cubique gauche : commune intersection des quatre cônes que l’on vient de définir, et qui admettent, en effet, deux à deux, une génératrice commune.

Réciproquement, si les sept points donnés (2) appartiennent à une même cubique gauche, les précédents (1) font six points d’une même conique; les côtés du triangle xyz et trois quelconques de ceux du quadrilatère 1234, six tangentes d’une autre conique, et notre construction du huitième point se trouve encore en défaut. O11 a donc ce théorème : Sept points quelconques de l'espace font toujours partie d'un groupe déterminé de huit points associés, à moins qu'ils n' appartiennent à une meme cubique gauche ; et le huitième point qui est alors indéterminé peut prendre, sur cette courbe , telle position que l'on voudra lui assigner. Une cubique gauche, en effet, ne pouvant être rencontrée en plus de trois points par un plan quelconque, en plus de six par un système de deux plans ou une surface quelconque du second ordre, ne peut avoir sept points communs avec une telle surface sans lui appartenir tout entière. Toutes les surfaces du second ordre que l’on peut mener par sept points d’une cubique gauche passent donc d’elles-mêmcs par cette courbe, qui est décrite tout entière par le huitième point commun à toutes ces surfaces.

PROPRIÉTÉ DE HUIT POINTS d’uNE CUBIQUE GAUCHE. 320

Il résulte de là que l’on peut appliquer au groupe formé de huit points quelconques d’une cubique gauche tout ce qui a été dit déjà de huit points associés quelconques ; ainsi, en premier lieu (n° 139, p. 142) :

Les carrés ries distances de huit points fixes d'une cubique gauche à un plan quelconque satisfont à une relation linéaire et homogène de la forme

288. Si l’on sépare ensuite celte identité en deux équations équivalentes, comme on a fait au n° 280, on obtient un théorème jusqu’ici inaperçu, et qui est lié toutefois à celui de Desargues par une analogie iuGniment précise, ainsi que le montrent les énoncés suivants :

Une corde et un qundrangle étant inscrits à une conique, les deux extrémités de cette corde et ses traces sur les côtés opposés du qundrangle font trois couples de points harmoniquement conju- 1 gués par rapport à un même système de deux points, ou six points en involution.

Et si l’on substitue aux deux couples de côtés opposés de ce qundrangle les trois couples de côtés opposés du qundrangle complet correspondant , on aura en tout huit points en involution .

Une corde et un octaèdre hexagonal étant inscrits à une cubique gauche, les deux extrémités de cette corde et ses traces sur les plans des faces opposées 1 rtc l’octaèdre font cinq couples de points harmoniquement conjugués par rapport à un môme système de deux points, ou dix points en involution.

Et si l’on substitue aux quatre couples de faces opposées de cet octaèdre les dix couples de faces opposées de tous les octaèdres construits sur les memes sommets, on aura en tout vingt-deux points en involution.

289. De même, un triangle et un pentagone inscrits à une cubique gauche sont toujours conjugues à une même coniqup (n°281, p. 3i3).

Coroli.aire I. — Une cubique gauche étant définie par

les points 1, 2, . . ., 6, la droite qui réunit les deux dernières traces de la courbe sur un plan quelconque H mené par le point 6 coïncide avec la polaire de ce point par rapport à une conique déterminée, située dans le plan H et conjuguée au pentagone gauche 1 2 ... 5 ou au pentagone plan dérivé de celui-là.

Corollaire II. — Les traces sur un plan quelconque H d'une cubique gauche définie par les points 1, 2,. . 6 font les sommets d'un triangle conjugué commun à six coniques distinctes, situées dans ce plan, et respectivement conjuguées aux pentagones gauches 12345, 23456, 3 4 561,... ou aux pentagones plans dérivés de ceux-là .

Corollaire III. — Une série de cubiques gauches étant menées par un même groupe de cinq points, leurs traces sur un plan quelconque sont les sommets d’une série de triangles dont les cercles circonscrits ont un même centre radical.

290. Enfin , deux tétraèdres inscrits à une cubique gauche sont toujours conjugués à une même surface du second ordre (n° 284, p. 317). On peut remarquer que les dépendances, entre huit points d’une cubique gauche, exprimées par l’un quelconque des théorèmes précédents, se traduisent par trois conditions, tandis que leur expression complète en exigerait quatre. Bien qu’analogues à celui de Desargues, ces théorèmes paraissent donc ne devoir donner lieu qu’à des applications plus restreintes d’un degré. Il arrive cependant, comme on le verra bientôt, que ces données par excès que supposent nos théorèmes, et qui en restreignent l’utilité quand il s’agit seulement de construire un nouveau point d’une cubique gauche, ou de lui mener une tangente par l’un des points qui la déterminent, deviennent, au contraire, très-avantageuses dans dlautres recherches un peu moins aisées, telles que celle du plan ,

1NVOLUTION d’i'ÏE DROITE ET d'iIB OCTAÈDRE. 3aj

du cercle ou de la sphère qui osculent la courbe en l’un de ses points.

291. Une question incidente se présente naturellement ici, et sur laquelle nous pouvons nous arrêter un moment, parce qu’elle touche à l’étude peu avancée encore des propriétés géométriques des polyèdres.

On vient de voir (n° 288) que toute transversale qui s’appuie en deux points sur une cubique gauche rencontre les faces opposées d’un octaèdre inscrit à la courbe suivant huit points en involution. On peut se demander si la réciproque est vraie, ou chercher seulement la définition générale des droites satisfaisant à la double condition de couper les faces opposées d'un octaèdre hexagonal 12... 56, suivant quatre couples de points en involution .

i). On reconnaît d'abord que, par chaque point x de l'espace, on peut mener au moins une de ces droites. Car si l’on désigne par y le huitième point commun à toutes les surfaces du second ordre circonscrites à l’heptagone xi 2 ... 6, l’identité

P? -t- aX- + b YJ = o,

ou les équations équivalentes

(t) «XJ-t-éYJ = o,

qui en résultent expriment que les quatre couples de points déterminées sur la droite xy par les faces opposées de l’octaèdre 1 . . .6 font quatre couples harmoniquement conjuguées aux deux points Ç, r, représentés par J’équation (i) : ou quatre couples de points conjugués en involution ( ii° 280, p. 3ia).

a). Si l’on imagine ensuite qu’une seconde droite xz,

3ft8

issue de la même origine, puisse offrir la même propriété et rencontrer effectivement les faces opposées de l’octaèdre 1 . . .(> suivant quatre couples de points en involution; les points doubles ?, £ de cette involution seraient harmoniquement conjugués aux deux points de chaque couple et formeraient une surface évanouissante (£,£), conjuguée à l’octaèdre 1 ... 0, et dès lors représentée par une équation de la forme

(v) V pî = °-

Mais en désignant par z le conjugué du point x dans l’involution précédente, ou le conjugué harmonique de ce même point par rapport au système (£,£); le système (£, £), rapporté aux points x, z , serait aussi représenté par une équation de la forme

(2') „X--+-cZ1 — o :

et les équations équivalentes (2), (2') entraînant l’identité

-+- «X1 -+- rZ’ = O,

le point z serait un autre huitième point associé au groupe xi 2. . .0. Les sept points de ce groupe ne seraient donc pas indépendants les uns des autres; mais le septième x, au lieu d’être quelconque, comme on l’avait supposé, appartiendrait à la cubique gauche délinie par les six premiers.

3). Il est donc acquis, d’une part, que toute droite qui s'appuie en deux points sur la cubique gauche circonscrite à un octaèdre quelconque, coupe les faces opposées de celuici suivant huit points en involution ; de l’autre que, par un point quelconque de l’espace, on peut mener une transversale, et une seule, en involution par rapport à un octaèdre donué. Mais on sait aussi que « par un point quelconque de l’espace ou peut mener une transversale, et une seule, qui s’appuie eu deux points sur une cubique gauche don-

DÉFINITION DE TOUTES LES DROITES EN INVOLUTION, ETC. 32g

née ». Il en résulte que les deux transversales dont on vient de parler se confondent, et l’on a ce théorème :

Toute droite qui s' appuie en deux points sur la cubique gauche, circonscrite à un octaèdre, coupc les faces opposées de celui-ci suivant huit points en involution. Réciproquement, toute droite qui coupe suivant huit points en involution les faces opposées d'un octaèdre hexagonal s'appuie en deux points sur la cubique gauche circonscrite.

292. « Par un point quelconque de l’espace, on peut toujours mener une droite, et une seule, qui s’appuie en deux points sur une cubique gauche donnée. »

Cela est à peu près évident. Et l’on voit bien d’abord que si deux droites, issues de la même origine, s’appuyaient chacune en deux points sur la courbe, le plan de ces droites couperait la courbe en quatre points. Et c’est la définition d’une cubique gauche, qu’elle ne puisse être coupée par un plan quelconque en plus de trois points, réels ou imaginaires

En outre, si l’on imagine l’un quelconque des hyperboloïdes à une nappe que l’on peut mener en nombre infini par l’origine x et la cubique gauche considérée-, le plan tangent en x à cet hyperboloïde coupera la courbe en trois points distincts, lesquels tomberont nécessairement sur les génératrices rectilignes contenues dans ce plan et issues de l’origine x, savoir : l’un de ces points, sur l’une de ces génératrices; et les deux autres sur l’autre. Donc, etc.

293. Mais on peut compléter le théorème précédent parla construction de cette droite unique qui le résout. II résulte, en effet, d’un théorème antérieur (n° 280, p. 3i2) que huit points associes sont toujours tels, que la droite qui réunit deux quelconques d’entre eux et l’octaèdre ayant pour sommets les six autres, soient en involution. Rapprochant ce théorème de l’un de ceux que l’on vient

d’élablir (n°29I), on pourra dire d’une manière équivalente que huit points associés sont toujours tels , que la droite qui réunit deux quelconques d'entre eux s'appuie en deux points sur la cubique gauche qui réunit les six autres .

Il en résulte que la droite menée d'un point quelconque d de l'espace , de manière à s' appuyer en deux points sur une cubique gauche abc a'b’c' , passe par le point associé d1 des sept points donnés d, a, b, c, a1, b', c' ; si dès lors, après avoir inscrit à l'hexagone abc a' b' c' un autre hexagone xyz XYZ dont les trois diagonales se croisent au point ri, et dont les côtés forment d’eux-mêmes six génératrices d’un hyperboloïde, on détermine les six autres génératrices suivant lesquelles cet. hyperboloïde est coupé par les plans des angles successifs de l'hexagone initial abc a'b'c ', et le nouvel hexagone x'y'z'\'\'Z,' qu'elles déterminent ( fig . 59, p. 3 18) : la droite menée, du point d , au point de concours d' des diagonales de ce nouvel hexagone s' appuiera en deux points sur la cubique gauche abc a'b'c' et résoudra le problème.

204. II résulte du nombre des paramètres arbitraires contenus dans l’équation

</ AA' -+- £BB' -+• cCC' = o

qu’une série de surfaces du second ordre circonscrites à un hexaèdre ( n° 61, p. 52) demeurent capables de deux conditions nouvelles et ne peuvent dès lors être assujetties par leur commune définition à plus de sept conditions distinctes. On doit donc réduire à ce nombre les huit conditions qu’elles remplissent déjà en passant par chacun des sommets de l’hexaèdre-, et l’on peut conclure, en d’autres termes, que toute surface du second ordre que l’on aura menée par sept des sommets de l’hexaèdre passera d’ellernème par le dernier : ou que les sommets d'un hexaèdie quelconque font toujours huit points associés. De là ce