PROPRIÉTÉ NOUVELLE DES CUBIQUES GAUCHES. 33 I

théorème curieux (fig. 6a) : Un hexagone 123456 étant inscrit à une cubique gauche , la droite xy qui réunit les

Fig. 6a.

points de concours des plans des angles pairs ou impairs de cet hexagone s'appuie en deux points sur la courbe.

Une cubique gauche étant définie par six points, on peut en obtenir à priori, et par une construction simple, soixante cordes distinctes.

295. Nous avons vu (n°287, p. 324) que lehuitième point nepeutdevenir indéterminéqucdans lecasoù les septdont il dépend appartiennent à une même cubique gauche. La construction donnée par M. Hesse (n° 285, p. 3i 8) parait. cependant eu défaut, en dehors même de ce cas d’exception et toutes les fois que l' hexagone auxiliaire xyz XYZ (f‘g. 5q, p. 3 1 8 ) cesse d’être gauche. Dans ce cas, en effet, l’hyperboloïde à une nappe, précédemment défini par ce circuit hexagonal, se réduit à un système de deux plans : le premier, qui tombe dans le plan même de l’hexagone xyzXYZ; le second, que la construction générale cesse de déterminer et qui demeure inconnu. Mais nous allons voir que ces deux plans se confondent, et que le huitième point d1 vient alors se confondre avec le septième d, suivant une direction dd' que l’on peut construire.

296. En premier lieu, le circuit hexagonal xyz XYZ (fig. 59) ne cesse d’être gauche qqe si le septième point d vient se placer au sommet de 1 ’wn des cônes du second ordre passant parles six premiers «, b, c, a\ b\ c' .

Car si Ton projette, sur un plan quelconque H, et suivant le centre de projection d, l’hexagone abca'b'c' en a(iy a'fi'y'-, on reconnaît aussitôt que les trois diagonales xdX, ydY, zd'L du circuit hexagonal xjz XYZ aboutissent respectivement aux points de concours des côtés opposés de l’hexagone projeté ot[iy a' (i' y1 . Le circuit xyzX YZ ne cesse donc d’être gauche, et ses trois diagonales n’appartiennent à un même plan que si les points de concours des côtés opposés de l’hexagone ctfiya'P'y' sont en ligne droite : auquel cas cet hexagone est inscrip tible à une conique, et l’hexagone initial abca'b'c' à un cône du second ordre ayant pour sommet le point d.

La construction Hesse ne sera donc en défaut que si le septième point d appartient à la surface du quatrième ordre S, — lieu géométrique des sommets des cônes du second passant par abca'b'c' — et qui renferme en particulier la cubique gauche (abca'b'c') définie par ces mêmes points.

Plaçons-nous dès lors dans ce cas d’exception; et, désignant par -

1,2, 3,4, 5,0, 7 ou P,P,...P, = o

les sept points donnés, supposons que le septième soit le sommet d’un cône du second ordre passant par tous les autres. Par un théorème antérieur (n° 268, p. 292), on pourra satisfaire à l’identité tangentidle

jLmti

par une détermination convenable du point Q7 = o, et que l’on peut réaliser géométriquement. Car le système de deux points

défini par celte identité, est divisé harmoniquement par deux faces opposées quelconques de l’octaèdre 1 23466 ou