AUTRE PROPRIÉTÉ DE CES COURBES

P, ... P, = o; et le second de ces points est à l'intersection des plans polaires du premier par rapport aux dièdres formés de deux faces opposées quelconques de cet octaèdre. Or, si P et Q désignent deux points auxiliaires, harmoniquement conjugués au segment P7 Q7, on pourra poser

P; = P -t- m Q, Q, = P — m Q ; l'identité précédente, à son tour, pourra s’écrire

et l’on en déduira que toute surface du second ordre menée par les points 1, 2, . . .,6 et P passe d’elle-même par le point Q. D’ailleurs si le point P se rapproche indéfiniment du point 7 ou P7 = o, il en est de même du point conjugué Q. Et l’on en conclut, en passant à la limite, que si le point 7 est le sommet d'un cône du second ordre passant par 1 , 2, .... o, 6 : toute surface du second ordre menée par \ , 2, . . . , 5, 6, 7 passe d' elle-même une seconde fois par le point 7, et touche en ce point la droite 111, ou P7 Q, = o, qui le réunit au point de concours de ses plans polaires par rapport aux dièdres formes des faces opposées de V octaèdre 1 . . .6.

Ce théorème pourra donc suppléer à la construction de M. Hesse toutes les fois qu’elle sera en défaut.

297. Enfin si le septième point 7 vient se placer sur la cubique gauche 12. . .06 définie par les six autres, toutes les conséquences précédentes subsistent encore, mais avec une particularité de plus, et qui fournit une analogie nouvelle entre les coniques et les cubiques gauches.

Dans ce cas, effectivement, toute surface du second ordre menée par les points 1, . . ., 6, 7, contient tout entière la cubique gauche sur laquelle on les suppose situés. Et comme celte surface n’est soumise par là qu’à sept conditions distinctes, il faut nécessairement que cette droite 7 7',

ou P, Q7 = o, à laquelle elle est tangente par ce qui précède, soit tangente elle-même à cette courbe.

De là l’analogie, que mettent en évidence les énoncés suivants :

Un qundrangle

étant inscrit à une conique , les polaires il' un point quelconque (le In courbe

par rapport aux trois angles formés des côtés opposés ou des diagonales de ce qundrangle se coupent en un second point

Qs = o

défini pur l'identité tnngcntielle

et la droite

qui les réunit est tangente à ta courbe suivant te premier de ces points.

Un octaèdre hexagonal

PP,, p p — 0 *1 rj,,,rsri — u

étant inscrit à une cubique gauche, tes plans polaires d’un point quelconque de la courbe

par rapport aux di fférents dièdres formés des faces opposées de cet octaèdre , se coupent en un second point

défini par l'identité tangcntiellc

et la droite

qui les réunit est tangente à ta courbe suivant le premier de ces points.

Observation . — La surface du quatrième ordre, lieu géométrique des sommets des cônes du second circonscrits à un hexagone gauche abc a’b'c' , et la surface de quatrième classe enveloppe des plans des coniques inscrites à l'hexaèdre déterminé par les plans des angles successifs

a, b,c . . . de ce même hexagone, se correspondent de telle manière que chaque point d de la première fournit, parla construction indiquée, un plan tangent (xpzX YZ) de la seconde; ou inversement. L’hexagone plan xjzX YZ qui correspond au point d est tel, en effet, que ses trois diagonales ïX, jY, zZ concourent en un même point d' : il est

PLAN OSCULATEUR D'OSE CUBIQUE GAUCHE. 335 donc circonscriplible à une conique déterminée, inscrite

elle-même à l'hexaèdre (a b c a' b' c').

298. Étant donnés six points 1 , 2, 3, x, > , z d' une cubique gauche, si l’on détermine d’abord les traces successives 1,2,3, sur le plan xyz , des droites 12,23,31, et que, considérant une conique inscrite au triangle xyz , et tangente, suivant le point 2, à la droite 1 23, on lui mène par 1 et 3 deux nouvelles tangentes : la droite menée de leur point de concours 4 au point 1 sera tangente en ce point à la courbe gauche proposée.

C’est ce qui résulte de la propriété de sept points d’une cubique gauche, mentionnée au n° 287, et de la considération auxiliaire d’un quadrilatère inscrit 1 234 dont le quatrième sommet se rapprocherait indéfiniment du premier.

299. Étant donnés six points 1 , 2, 3, x.y, z d’une cubique gauche et la tangente 1 4 en l'un de ces points

( fi g. 63); si l’on détermine d’abord les traces 1 , 2, 3, 4 sur

Fig. 63.

le plan xyz , des droites 1 2, 23, 31 et de cette tangente ; et

que, considérant la conique définie par les points

on détermine la seconde trace 4' de cette courbe sur la droite indéfinie I 2 U : le plan mené par la droite 44' et le point 1 sera oscillateur en ce point à la courbe gauche proposée.

C’est ce qui résulte de la propriété de huit points d’une cubique gauche (n° 289, p. 3î5) et de la considération auxiliaire d’un pentagone inscrit i 23 45 dont les deux derniers sommets t et o se rapprocheraient indéfiniment du premier 1, en se mouvant toujours sur la courbe ( fig . 64). Si 1,2,3, 4, 5

désignent, en effet, les traces sur le plan xyz des côtés •successifs

du pentagone mobile considéré, nous savons d’abord que le triangle fixe et le pentagone plan 12345 seront à

Fig. G h

chaque instant conjugués à une même conique. Mais nous savons aussi, et cela résulte d’ailleurs de la seule définition du pentagone conjugé à une conique, que si l’on prolonge jusqu’à leur mutuelle intersection, en 4', deux côtés non consécutifs, 2 3 et 4 5, d’un tel pentagone, le triangle ré-

sullant