CERCLE OSCULATEUR D'UNE CUBIQUE GAUCHE
est conjugué à la même courbe. Le triangle fixe xyz et le triangle variable 254' se trouvent donc à chaque instant conjugués à une même conique, et, par un théorème antérieur, leurs sommets
(ont toujours six points d'une seconde conique. Il en est donc encore de même à la limite lorsque les sommets 4 et 5 du pentagone gauche primitif viennent se confondre avec le point 1 :
et l’on peut dire que la conique définie parles points x,j , z, le point. 2 et. le point-limite du point 5 , contient encore le point limite du point 4'. Or le point 5 a pour limite la trace, sur le plan xyz , de la tangente au point 1 de la cubique gauche proposée; et le point 4', intersection des droites 23 et 45, a pour limite l’intersection de la droite 123 de la figure-limite et de la trace, sur le plan xyz, du plan osculaleur que l’on se proposait de construire. Donc, etc.
300. Etant donnés six points O, 1,2,3, 4, o d’une cubique gauche, la tangente OU' et le plan osculateur OO'O" en l’un de ces points; si l’on construit d’abord les traces \ ,2 , 3, 4, 5 sur ce plan des droites 1 2, 23, 34, 4 5, 5 1, et que, considérant la conique conjuguée au pentagone résultant 1 23 45, on en détermine le cercle diagonal : le cercle osculaleur au point O de la courbe gauche proposée coïncidera avec le cercle mené, par ce point, tangentiellement à cette courbe et orthogonalement au cercle diagonal de la conique précédente.
C’est ce qui résulte encore de la propriété de huit points d’une cubique gauche.
Imaginons, en effet, un triangle variable OO'O", inscrit
à la courbe, et dont les deux derniers sommets se rapprochent indéfiniment du premier O qui est fixe; et soit !'2'3'4'3' un pentagone ayant pour sommets successifs les traces des côtés successifs du pentagone gauche 12345 sur le plan de ce triangle. Le pentagone 1' 2’ 3'4' 5' et le triangle 00' O" étant toujours conjugués à une même conique, le cercle OO'O", circonscrit à ce triangle, et le cercle-diagonal de cette conique sont constamment orthogonaux. La même propriété subsiste donc encore, à la limite, lorsque les points O, O', O " se confondent ; et les cercles limites des deux précédents sont encore orthogonaux. Or la limite du cercle OO'O" est le cercle osculateur au point O de la cubique gauche considérée ; et la limite du cercle-diagonal de la conique conjuguée au pentagone l'2'. . . S', le cerclediagonal de la conique conjuguée au pentagone-limite 1 2 ... 3. Donc, etc.
Remarque I. — Le point O pouvant être considéré comme un triangle de dimensions évanouissantes simultanément inscrit à la courbe gauche proposée, et conjugué à la conique précédente; celle-ci passera d’elle-même parle point O et touchera d’elle-même en ce point la courbe proposée.
Remarque II. — Le cercle diagonal de la conique conjuguée au pentagone 12 343 se peut construire indépendamment de cette conique, et en quelque sorte à priori. Un
Fig. 65.
pentagone conjugué 12... 3 (Jig. 65) donnant en effet
CONSTRUCTION DE LA SPHÈRE OSCULATRICE. 33g
naissance à cinq triangles distincts i 3 2', 1 4 5', 251', ... , ■conjugués à la mémo conique : les cercles circonscrits à trois quelconques de ces triangles sont orthogonaux au cercle-diagonal de cette conique et le déterminent.
301 . Étant donnés cinq points O, 1 , 2, 3, 4 d'une cubique gauche , le plan et le cercle osculatcur en l'un de ces points O; si l’on détermine la sphère diagonale d’un ellipsoïde qui, passant par lepointO et langent en ce point au plan donné, serait en outre conjugué au tétraèdre 1 234 : la sphère menée par le cercle donné orlhogonalement à la précédente représentera la sphère osculatrice de la courbe gauche proposée. „
Si l’on prend, en effet, sur cette courbe, trois nouveaux points quelconques O,, O,, 03, les huit points associés O, 0|,0s,0j, 1,2, 3, 4 donnent naissance à deux tétraèdres,
00,0,0, et 1234,
conjugués à un même ellipsoïde : la sphère-diagonale de cet ellipsoïde coupe orlhogonalement la sphère circonscrite à l’un quelconque de ces tétraèdres ; et cette propriété ayant lieu, quels que soient les points O,, 0„, 03, subsiste encore à la limite, quand ils se confondent avec le point O. La limite de la sphère circonscrite au tétraèdre 00, O, Oj, ou la sphère osculatrice de la courbe gauche considérée, coupe donc orthogonalement la sphère-diagonale d’un ellipsoïde conjugué au tétraèdre 1234 et au point O considéré comme limite du tétraèdre 00,0,0», ou assimilé à un tétraèdre conjugué de dimensions évanouissantes. Le point O appartient donc à cet ellipsoïde-limite, et celui-ci, de plus, est tangent en ce point à la limite du plan 00, O, ou au plan osculateur. Donc, etc.
Remarque. — Etant donnés les plans polaires de deux points distincts par rapport à une surface du second ordre, si par chacun de ces points on mène un plan parallèle au
plan polaire de l’autre, les arêtes des deux dièdres qui résultent des deux plans proposés, ou de leurs parallèles, déterminent un plan contenant le centre de la surface ( n° 182, p. 186). Le centre d’un ellipsoïde défini par un tétraèdre conjugué, un plan tangent et son point de contact, se trouve donc au point de rencontre de quatre plans distincts que l’on peut construire. Et la sphère décrite autour de ce point comme centre, orlhogoualcment à la sphère circonscrite au tétraèdre donné, représente la sphère-diagonale de l’ellipsoïde.
§111. — De l' enveloppe du plan polaire d'un point donné par rapport aux surfaces circonscrites à un heptagone.
302. M. Lamé a établi le premier (Exam. des diff. met h p. 37) que « les plans diamétraux conjugués à une même direction de cordes, dans les surfaces du second ordre circonscrites à un heptagone, se coupent en un même point », et l’on a vu déjà (n" 145, p. i5a) que les plans polaires d'un point fixe quelconque Q = o, par rapport aux surfaces circonscrites à l'heptagone P,... P, = «, sc coupent, suivant le point Q'= o défini par l'identité tangenliclle
Il resterait à construire ce point Q', et c’est ce que l’or» peut faire de deux manières différentes : par la géométrie avec M. Hesse, ou par la seule interprétation de l’identité précédente. C’est ce qu'on verra dans le Chapitre suivant.
§ IV. — De deux problèmes déterminés relatifs à l’hexaèdre.
303. Le problème ayant pour objet de circonscrire, à un hexaèdre donné, un cylindre du second ordre est dé-
LIEU GÉOMÉTRIQUE RELATIP A LHEXAÈDRE. 34 l
terminé et admet, en général, trois solutions distinctes. Une première manière de les obtenir résulterait, si elle est géométriquement réalisable, de la recherche de Vnxe même de chacun des cylindres circonscrits. Un cylindre avant, en effet, une infinité de centres situés sur l’axe, le lieu géométrique des centres de toutes les surfaces du second ordre circonscrites à l’hexaèdre proposé doit recevoir autant de droites, au moins, que l’hexaèdre de cylindres circonscrits. Or le lieu général des centres est ici une surface du troisième degré, dont la trace sur le plan de chacune des faces de l’hexaèdre se compose d’une droite et d’une conique — soit six coniques déjà et trois droites (AA'), (BB'), (CC'), — mais qui peut admettre, comme l’on sait, vingt-sept droites distinctes. Douze d’entre elles se définissent aisément, mais dont aucune ne peut représenter l’axe d’un cylindre circonscrit. 11 resterait donc à copstruire les quinze autres et, parmi ces dernières, celles, au nombre de trois, qui, s’appuyant sur chacune des six coniques principales, pourraient seules fournir les axes des trois cylindres cherchés.
Mais, en dehors de cette solution, on peut encore résoudre le problème à l’aide du théorème suivant dont nous rencontrerons, par la suite, d’autres applications.
304. Théorème. — Le lieu des sommets des cônes du second ordre circonscrits à un hexaèdre est une cubique gauche s' appuyant en deux points sur chacune des droites d'intersection des faces opposées de l'hexaèdre , et dont six autres points se trouvent susceptibles d'une construction immédiate, qui sont les points d' intersection dis fieux diagonales de chacune de ces faces.
Soient, effectivement,
a A A' -4 pBB' + yCC' = o l’un des cônes circonscrits à l’hexaèdre, et
a (« A' -+- a' K) +P(6B'-t-6'B) + ;{cC-hc'C) — 0
l’équation du plan polaire correspondant du sommet (a.a'\ b, b' ; c, c') de ce cône. Le plan polaire du sommet d’un cône, par rapport à ce cône lui-même, étant indéterminé, l'équation précédente doit se réduire à l'identité o = o-, ce qui exige que les plans polaires
(a A'-|- a' A) (èB'-f- b' B) (cC' -t- c’ C) = 0
du sommet considéré, par rapport aux trois dièdres
