AA', BB’, CC

formés des faces opposées de l’hexaèdre, se coupent suivant une meme droite G. De là d’abord la possibilité de construire par points le lieu géométrique des sommets. Car celte droite G, s’appuyant sur l’arête de chacun de ces angles dièdres, est l’une des génératrices de ïhjperbo/oïdc à une nappe qui aurait ces trois arêtes pour directrices ; et les plans polaires d'un point quelconque de cet hy petit oloïde, par rapport aux dièdres AA',BB', CC' se coupent en un point du lieu ; mais on peut aussi en obtenir les équations. Et si l’on pose

{a) ! B .B' = Xj. X,,

on aura exprimé la collinéation suivant une même droite des plans polaires d’un certain point (X', , . . . , X',, P', Q'), par rapport aux dièdres AA', BB', CC', si l’on exprime que l’une des trois équations suivantes,

x, x', -1- x, x', = o, x, x'4 + x, x; = o, PQ' -1- QP' o,

est une conséquence des deux autres, en posant

À (X, X', -4- X, X', ) + f* (X, X’( -4- X, X',) s= PQ' -4- QP'.

Or, si l’on développe les fonctions P et Q conformément à la notation (/*), celle identité se résout dans cette suite de

CYLINDRE CIRCONSCRIT A l’hEXAÉDRE.

rapports égaux

= >x', ^ Px', px'3

p. Q'-4-ÿ, P' p, Q' h- <■/; P' p,Q' + <73P' ' p1Q' + î<P'’ et les équations du lieu des sommets s’obtiennent en égalant entre eux les deux premiers rapports, ou les deux derniers : ce qui donne, suppression faite des accents,

Le lieu cherché est donc une cubique gauche, commune intersection de deux hyperboloïdes à une nappe ayant une génératrice commune o = P = Q ou C .C' = o.

D’ailleurs, il est aisé de reconnaître, dans le point de concours des premières diagonales de chacune des faces de l’hexaèdre, un point du lieu général des sommets (j*g. 66). Le cône défini par les cinq génératrices

o 1 « ou o, c, o, b ou o , d et «, a', o, b’, o, c'

passe effectivement par sept des sommets de l’hexaèdre, savoir :

Il passe donc aussi par le huitième <V ; le point o, appar-

tient à la cubique gauche lieu géométrique des sommets de tous les c^nes circonscrits : et les six points analogues o,,. . ., o6, fournis par les différentes faces de l’hexaèdre, suffisent à la définition de celle courbe.

su

305. Il est aisé maintenant de définir par la direction de leurs génératrices les trois cylindres du second ordre que l'on peut circonscrire h l'hexaèdre donné ahcda’h'c'd! . Les six points

°ty • • • j °6

de la cubique gauche lieu géométrique des sommets de tous les cônes circonscrits, permettant, en effet, de déterminer les traces de cette courbe sur un plan quelconque et, en particulier, sur le plan à l’infini: si l’on mène, d’un point arbitraire O, conformément à une proposition antérieure (n° 289), une série de rayons parallèles aux côtés successifs de chacun des pentagones

0, Oj Oj 0^ 0$, 0j Oj 04 04 0g j

et que l’on détermine les cônes du second ordre respectivement conjugués aux angles solides pentaèdres formés des rayons de chaque série : chacune des arêtes du trièdre conjugué commun aux deux cônes résultants représentera la direction de l’un des points à l’infini de la cubique gauche o, o, . . . o6, ou la direction des génératrices de l’un des trois cylindres cherchés (Corollaire II, p. 3a6).

306. On peut encore rattacher à l’étude des propriétés communes aux surfaces du second ordre menées par un même groupe de sept points, la détermination du paraboloïde équilatère circonscrit à un hexaèdre. ; en entendant, sous ce nom, un paraboloïde hyperbolique dont les plans directeurs sont perpendiculaires entre eux. Un tel paraboloïde étant représenté par l’équation

ax' 4- a' y ' n"z ’ -t- a bys -1- 2 b'zx -)- a b" xy

-t- 2 ex -t- ic' y 4- a c"z 4- d — o,

l’orthogonalité de ses plans directeurs se traduit par la condition connue

et son entière détermination est assurée par la donnée d’un

PAR AB0L0ÏDE ÉQUILATÈRK CIRCOKSCRIT A i/tlKX AF.ÜRE. 345

heptagone ou d’un hexaèdre inscrits. Dans l'un et l’autre cas, le problème admet trois solutions, et nous allons voir <]u elles sont susceptibles d’une détermination fort élégante dans le cas de l’hexaèdre.

t). La surface cherchée étant rapportée d’une part à ses plans directeurs XY = o; de l’autre, à l’hexaèdre donné P, Qi X Pi Q, X Ps Qi = o, les équations résultantes entraînent l’identité

( 1 ) hPiQi +hP:Qi +h P 3 Q. = XY -+- Z,

que l’on peut écrire, après avoir transporté parallèlement à eux-mêmes, autour d’un môme point o, tous les plans qui y figurent,

Les plans directeurs cherchés, X'Y' = o, seront dès lors fournis par les divers systèmes de deux pleins rectangulaires contenus dans l’équation

lesquels appartiennent, comme surfaces-limites, à la série des cônes èquilaléres circonscriptib/es contenus dans la même équation.

Or si l’on développe la condition a -+- a' -+- a" = o qui particularise les cônes de cette série, on trouve successivement