III
et si l’on élimine le paramètre entre cette équation et la précédente (3), il vient
| 1, (p', Q', • cos 3 — P'3 q; . cos 1 )
f 4- >., (p'. Q',.cos3 — p; Q', .cos 2) = o. fous les cônes de la série (3) ou (3') et tous les systèmes
de deux plans rectangulaires qui en font partie admettent donc quatre génératrices communes : les quatre génératrices communes aux trois cônes circonscriptibles , représentés par les équations
cos] cos 2 cos 3
et qui sont susceptibles dune construction immédiate, parce que l’on connaît, à priori, quatre génératrices de chacun d’eux. La hauteur d’un trièdre inscrit à un cône circonscriptible, ou la droite d’intersection de trois planshauteurs de ce trièdre, est effectivement tout entière sur ce cône et sur tous les cônes analogues que l’on peut circonscrire au même trièdre. Un cône circonscriptible, défini par quatre génératrices, passe donc par quatre autres droites que l’on peut construire; et tel est le cas des cônes représentés par les équations (4)- On pourra donc construire leurs traces sur un plan quelconque et leurs génératrices communes, lesquelles formeront nécessairement les trois arêtes et la hauteur d’un môme angle trièdre. Or les trois systèmes formés de l’une quelconque des faces de ce trièdre, et du plan mené par l’arête opposée et la hauteur, fourniront les trois systèmes de deux plans orthogonaux contenus dans l’équation (3), ou les plans directeurs des trois paraboloïdes cherchés. De là ce théorème :
Si /’ on forme les trois angles solides tétraèdres dont les Jaces opposées résultent, des faces opposées d'un hexaèdre, et que l'on circonscrive à chacun de ces angles solides un cône équilatère circonscriptible; les génératrices communes aux cônes résultants feront les arêtes et la hauteur d'un même angle trièdre : et les trois systèmes formés de l’une quelconque des faces de ce trièdre et du plan mené par l’arête opposée perpendiculairement à cette face fourniront les plans directeurs des trois paraboloïdes équilatères que l'on peut circonscrire à /’ hexaèdre donné.
