GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DE CE PAIUBOLOÏDF

2). Les plans directeurs étant connus, le problème se peut achever par le seul emploi de la règle. Car si l’on coupe le paraboloïde

ï* 1 Qi — I — ^2 P-, Q3 4" a3 P, Q3 — o, ou XY + Z — o,

par un plan X = a parallèle à l’un de ses plans directeurs, la section résultante n’est autre que la droite déterminée, contenue accidentellement dans l'équation

et que l'on peut définir par trois de ses points qui sont, en appelant 1,2,3 les sommets des angles formés par les trois couples de droites P', Q', , F, Q'3, F, Q'3 et 1', 2', 3' les points de concours des polaires des précédents 1, 2, 3 par rapport aux angles formés des deux droites de chacune des couples restantes, les points-milieux des trois segments l'I, 2'2, 3 3' (n° 151, p. 157). On pourra donc obtenir autant de génératrices que l’on voudra, de l’un ou de l autre système. Mais l’hexaèdre donné et les plans directeurs permettent de déduire, d’une seule de ces droites, appartenant à l’un des deux systèmes, huit génératrices de l’autre; et la détermination des éléments principaux de la surface exige seulement l’intervention de trois de ces droites.

307. La construction des quatre cônes équilatères circonscriplibles que l'on peut mener par les sommet s'd' un hexaèdre donné dépend du problème que l’on vient de résoudre. Les trois paraboloïdes précédents se coupent, en effet, suivant une même courbe gauche du quatrième ordre, que l’on peut nommer équilalère parce que toutes les surfaces qui passent par cette courbe, hypcrboloïdes, cônes ou paraboloïdes, sont aussi équilatères (a 4- a' -+- a" = o). Or cette courbe est déterminée par ce qui précède, et elle détermine à son tour les sommets des quatre cônes dont il s’agit ( voir Chapitre XI).

PROPRIÉTÉS DE HUIT PLANS ASSOCIÉS

Sommaire. — Des surfaces du second ordre inscrites a un mémo système de sept plans et du huitième plan tancent commun à toutes ces surfaces. — Cas d'indétermination, et translation du théorème corrélatif de celui de Drsargues à la figure formée de huit plans tangents d’une développable cubique. — Construction du plan X — O défini par l’une ou l’autre des identités

§ I. — Expressions diverses des dépendances qui existent entre huit plans associés.

308. Nous avons vu déjà (n° 180, p. 179) que toutes les surfaces du second ordre que l’on peut mener tangenticllement à sept plans donnés P,...P7 = o louchent d’elles-nièmes un huitième plan déterminé P8 — o; et que les distances de ces huit plans à un point quelconque satisfont à l’identité caractéristique

Les «différentes expressions des dépendances existant entre huit plans associés correspondent, une à une, aux différentes décompositions de cette identité en deux équations équivalentes.

309. Si l'on sépare d’abord huit plans associés en deux groupes inégaux composés , l'un de six plans , l'autre de deux : ces deux derniers et les dix couples de plans conduits par leur intersection et les sommets opposés de l'hexaèdre qui résulte des six autres, Jont onze couples de plans conjugués en i évolution.