PROPRIÉTÉS DK HUIT PLANS ASSOCIÉS

310. De même, si l'on sépare huit plans associés en rleux groupes composés , l'un de trois plans , l'autre de cinq : le pentagone gauche formé par les intersections successives des plans du second groupe, pris dans un ordre quelconque, et le trièdre formé des plans du premier, sont conjugués t un et l'autre à un même cône du second ordre.

311. Entin, si l'on sépare huit plans associés en rleux groupes composés l'un et l'autre de quatre plans, les rleux tétraèdres qui résultent des plans de chacun de ces groupes sont conjugués l'un et l'autre à une même surface du second ordre (Hesse); et ces differents énoncés peuvent donner lieu à autant de déterminations différentes du huitième plan. (F oir Chapitre IX. )

§ II. — Cas où le huitième plan est indéterminé. — Translation du théorème corrélatif de celui de Desargues à la f igure f ormée de huit plans tangents d'une développable cubique.

312. Les intersections successives des plans tangents communs à deux surfaces quelconques du second ordre engendrent une surface développable que l’en dit circonscrite aux deux premières, et qui est en général delà quatrième classe , ou telle, que d’un point quelconque de l’espace on peut lui mener quatre plans tangents, réels ou imaginaires. Toutefois, si les su/faces considérées sont deux hyperboloïdes ayant une génératrice rectiligne commune G, la classe de là développable circonscrite s'abaisse d'une unité , en même temps que le nombre des plans tangents menés à celte développable par un point quelconque m de l’espace. O11 voit, en effet, que les deux <ôires de sommet m, circonscrits à ces hyperboloïdes, ne peuvent admettre plus de quatre plans tangents communs, parmi lesquels se trouve le plan mené par le point m et la gené-

35o CHAPITRE X.

ratrice commune aux deux surfaces. Faisant abstraction de ce dernier, il reste seulement trois plans menés de chaque point de l’espace tangentiellemcnt à la développable circonscrite aux deux liyperboloïdes : et cette développable est seulement de la troisième classe.

313. La section d' une développable cubique par l'un quelconque de ses plans tangents est une courbé de la seconde classe, c’est-à-dire une conique; car si d’un point quelconque du plan de cette section on pouvait mener à celle-ci plus de deux tangentes, de ce même point on pourrait mener à la développable I)3 plus de trois plans tangents : le plan même de la section et les plans menés, par chacune de ces ni tangentes, tangentiellement à la surface.

314. Les deux coniques déterminées dans une développable cubique par deux quelconques de ses plans tangents, ont pour tangente commune la commune intersection de ces plans.

Cela résulte de ce que chacune de ces coniques coïncide avec l’enveloppe des traces, sur son propre plan, de tous les plans tangents à la développable considérée.

Réciproquement, l' enveloppe des plans tangents communs à deux coniques qui admettent une tangente commune est une développable cubique.

313. Étant donnés six plans tangents 1,. . .,6 d'une telle développable I),, cette surface est déterminée.

Si l'on imagine, en effet, deux coniques C,, Ct respectivement situées dans les plans 1, 2 et tangentes aux traces de chacun de ces plans sur les cinq autres, ces coniques auront une tangente commune dans la droite 12; et l’enveloppe de leurs plans tangents communs, qui est déterminée, sera la développable dont il s’agit.

316. Toute surface du second ordre S menée langentiellcment à sept des plans tangents d' une développable