On vient de voir que l’arête d’un dièdre eircon

scrit à une développable cubique est un axe d'involution pour chacun des hexaèdres circonscrits à cette développable. La réciproque est vraie. Et si une droite est un axe d’involution par rapport à un hexaèdre, ou si elle est telle, que les différentes couples de plans menés par cette droite et les sommets opposés de V hexaèdre f assent quatre couples (au moins ) de plans conjugués en involulion : cette droite est en meme temps l’arête d’un angle dièdre circonscrit à la développable cubique inscrite à l'hexaèdre. C’est ce qui résulte de la proposition directe associée aux théorèmes suivants.

i). Étant donnés un hexaèdre P, . . . P6 = o et un plan quelconque X = o, ce plan renferme toujours un axe d'involution de cet hexaèdre , et un seul.

Les plans des différentes faces de l’hexaèdre et le plan donné X font effectivement partie d’un groupe de huit plans associés

P,,..P(.XY^o,

lesquels donnent lieu à l’identité ordinaire

(O y»IPî+.x.+pY»-0,

ou aux équations équivalentes

et celles-ci représentent un même système de deux plans réels ou imaginaires qui se coupent suivant la droite XY et divisent harmoniquement toutes les diagonales de l’hexaèdre. Les dix couples de plans menés par cette droite et les sommets opposés de l’hexaèdre forment donc dix couples de plans conjugués en révolution, et la droite XY est un premier axe d’involution de l’hexaèdre.

D’ailleurs, si le plan donné X = o en pouvait contenir

des axes d’involutioh de l’hexaèdre. 353 un second o = X = Z, les deux plans menés de ce nouvel axe XZ à deux sommets opposés quelconques de l’hexaèdre, entrant comme plans conjugués dans un même faisceau en involution, seraient harmoniquement conjugués par rapport à un certain système de deux plans (£,£) menés par cet axe. Les sommets opposés de l’hexaèdre seraient donc conjugués deux à deux par rapport à ce système; les deux plans £, Ç formant dès lors une surface du second ordre conjuguée à l’hexaèdre P,. . .P,, et que l’on pourrait représenter par une équation telle que

Mais parce que les plans £, £ passent par l’axe supposé o = X = Z, leur équation pourrait aussi s’écrire

{3') ttX’ + 7Z’ = o, ,

où Z = o désignerait un plan mené par l’axe sous une convenable direction. Or les équations équivalentes (3), (3') entraînant l’identité

(i') Vft.PÎ + aX’-l-yZ’so,

les sept plans P,...Ptl.X = o feraient partie de deux groupes distincts (P, . . .P„.X.Y) et (P, . . .P6.X.Z) de huit plans associés. Ces plans ne seraient donc pas indépendants les uns des autres; mais le septième X, contrairement à l’hypothèse, serait tangent à la développable cubique inscrite à l’hexaèdre proposé.

2). Étant donnés une développable cubique et un plan quelconque X = o, il existe toujours un angle dièdre circonscrit à celle développable, dont l'arête tombe dans ce plan; et iln'en existe qu'un.

On voit d’abord, s’il en existait deux, que l’on pourrait mener, par le point de concours de leurs arêtes, quatre plans distincts tangents à la surface, ce qui est impossible ; et

si, imaginant un hyperboloïde quelconque inscrit à la développable considérée et tangent en outre au plan X = o, on cherche la position des trois plans tangents que l’on peut mener à cette développable par le point de contact du plan X et de l’hyperboloïde ; on reconnaît aussitôt qu’ils devront passer par l’une ou l’autre des deux génératrices rectilignes de cet hyperboloïde qui tombent dans le plan X, savoir : l’un de ces plans tangents, par l’une de ces génératrices; et les deux autres, par l’autre. Donc, etc.