ix*p'i Q

elle admet cinq couples distinctes de points conjugués définies, au nombre de deux (n°“ 174-175), par la forme (a'), et les trois autres couples (n° loi) par la forme (3'). On pourra donc aussi regarder comme connues les deux traces m, m' de la courbe d’entrée sur un plan quelconque, tel que P* = o; ainsi que les traces, sur le même plan, des surfaces (2) et (3). Celles-ci coupent, en effet, le plan P4 suivant deux coniques partiellement définies par les équa-

tions

et passant l’une et l’autre par chacun des points m, m'. Chacune de ces coniques se trouve donc définie par deux

DW LIEU DES PÔLES d’wN PLAN FIXE, ETC. 35y

points m, m' et trois couples de points conjugués (n° 151 ); et si l’on détermine les deux derniers points de rencontre p, u' de ces coniques, les points u, u' appartenant à la courbe de sortie, la corde pp' appartiendra au plan de cette courbe, ou au plan X que l’on voulait déterminer.

322. Des considérations de géométrie que nous rapporterons plus loin avaient déjà conduit M. Hesse à une autre détermination du premier des deux plans que nous venons de construire et qui serait de tout point préférable à la précédente si elle pouvait se transporter, comme celle-là, des surfaces inscrites à un heptaèdre, aux surfaces conjuguées à sept couples de plans. Nous allons montrer d’ailleurs que cette seconde détermination du plan X est comprise dans l’identité a

\\p? = QX,

qui lui sert de définition, pourvu que l’on rompe préalablement la symétrie qu’elle présente par rapport aux sept premiers des plans donnés.

i). A cet effet, substituons d’abord, à la fonction P,, la fonction équivalente P,

et, à l’identité initiale, l’identité suivante :

^\p;=XP’ — aQX.

Il résulte de celle-ci que le cône représenté par l’équa-

(i) iPJ — aQX = o

est conjugué à l’hexaèdre P, . . . P, ou abmna'b'm'n' ( fig . 67). Le plan polaire, par rapport au cône (i),de chacun des sommets a, b , m, n de l’hexaèdre, passe donc par le sommet ôpposé a', b ni\ n'\ et si l'on désigne par P„, P Pi, P*<, . . . ; Q„, Qa/, Q* ... les distances de ces

sommets aux plansdonnés P et Q; par X„, X„,, X4, X4,,... leurs distances au plan inconnu X : ces distances et le paramètre X se trouvent liés par les quatre relations

XPoPn' = XaQa' -f- Xo'Qa,

\ PjPy = X4Q4' -+- XyQi,

entre lesquelles éliminant Je paramètre X, on obtient ces trois équations distinctes

/ , X„Q,,' -t- Xa'Q„ XiQj" -t- Xy Qj

Or les nombres Pa,Pn<, . . .,Qt,Qj/,. . . qui figurent dans ces équations étant connus, on voit qu’il existe, entre les distances Xn, X„;, X(,,Xv du plan inconnu ou variable. X à quatre des sommets de l'hexaèdre, tels que a et a', b et b', trois équatioAs homogènes du premier degré : équations tangentielles qui caractérisent, considérées isolément, tous les plans issus d’un point déterminé xt, ou x,, ou x5, et collectivement le plan x,xsx3, ou le plan X que l’on cherche. On pourra donc déduire des trois équations (2) trois points distincts du plan cherché, si l’on parvient à construire le seul point représenté par la première de ces équations, ou par la suivante :

a/» • a/> rP * rp

dans laquelle «, /3, (5' désignent les coordonnées couran-

tes du plan variable X, ou ses distances, désignées d’abord par Xa, X„j, X4, X^, aux points de référence a, a', b , et ocp, a,, ..., (3,,, (3,,... les distances des mêmes points aux plans donnés P et Q.

2). Or l’équation (3) étant satisfaite par la double substitution

DU PLAN X DÉFINI PAR l’iPENTITÉ Ej).,PÎ=QX. SSÿ

ei

(5) p.p;+6'.p,=ro,

le point -enveloppe représenté par cette équation appartient, en premier lieu, à la droite qui réunit les conjuguées harmoniques, par rapport aux deux diagonales aa\ bld de l’hexaèdre, des traces de ces diagonales sur le plan Q = o. Le pôle de ce plan, par rapport à chacun des systèmes de deux points

{a, a') a.a! = o, ou {b, b') p.p'=o, a effectivement pour équation

«'•“» = °» ou P'-Pt=°»

c’est-à-dire l’une ou l’autre des équations (4) et (5).

3). Pour trouver une autre droite qui contienne le pointenveloppe (3), essayons d’un changement de points-coordonnés ; et puisque le plan P ou P7 entrait d’abord dans les données du problème, de la même manière que le pian de chacune des faces P, , . . . , P6 de l’hexaèdre actuel, substituons

aux points b et a'

qui résultaient, dans le premier groupe de référence, des traces du plan P6 sur les arêtes ab, a'b1,

les points c et c'

traces du plan P ou P7 sur les mêmes arêtes. Les formules de transformation

( m ) p.ac = a.bc -4- 7. ab,

(n) a'.iV = p'.«V+ 7'.a'ê',

résultent de la relation que l’on sait exister entre les distances

a, p, 7 ou a', p', y',

d’un plan quelconque à trois points en ligne droite n, b, c ou a', b', c’ .

Et si, empruntant à la figure la proportion

ap-ap fip- P p

ac . a'c' bc . b' c'

qui permet d’écrire, au lieu de l'équation (3),

bc. b’c'

ou encore

. -4- («' . b'c') a, (p.<7c) P' -4- P'.pj.ac

on remplace, dans celle dernière, a1 .b'c1 et fi.ac par leurs

Kig. 67.

. r=rV 1 q

-fe-Cî

valeurs tirées des formules (/«) et ( n ) ; elle devient d’abord

I (a.bc-t - y.«è)p'(?+ p'.p^.ac

\ bc

De là, en groupant dans le premier membre les termes en a et y\ dans le second les termes en y et |3',

flè -4- p'(p?.ac — a,.ér) bc