CONSTRUCTION DE CE PLAN

On déduit, d’ailleurs, de l’identité d’Euler (*), appliquée successivement aux deux groupes

[b', a', c', q') et {a,b,c,q),

(A) bq.ac—oq.bc -hcq.ab ,

relations respectivement homogènes par rapport aux segments

a'q', b'q', c'q'-, bq , aq , cq ,

que l'on peut remplacer dès lors par les nombres proportionnels

aV> P</> 7V; r‘1 1 7 9 >

de telle manière que les relations (i) et (/i)' deviennent, après quelques transpositions de termes,

(A') (Pf.oc — a?. Ac) = yy.ab.

Or, si l’on remplace, dans l’équation (3W), chacun des binômes entre parenthèses par sa valeur réduite (/') ou (h1), elle devient définitivement

/ 31» \ «■7tf-E7,-«r 7-p;+y-P 9.

1 ' ' a'c'la’b’ — Ac : aA ’

et eomme cette équation est satisfaite par la double substitution

(6) «-7',+ y’-a,= o et

le point-enveloppe représenté par l’une quelconque des

(*) Les distances mutuelles de quatre points a, b , c, d situés en ligne droite, et se succédant dans l’ordre alphabétique, sont liées par la relation

ac .bd = ab .cd -i- le .acf. (Euler.)

équations (3) ou (31V) appartient , en second lieu, à la droite qui réunit les conjuguées harmoniques, par rapport aux diagonales ac', cb' du nouveau quadrilatère gauche acc'b ', des traces du plan Q sur ces diagonales. Le pôle de ce plan, par rapport à chacun des systèmes de deux points

(a, c')a.y' = o, ou (c,b')y.p—o, a effectivement pour équation

a.7'v + 7'.a,= 0 OU y.^ + y'.Pf—O,

c’est-à-dire l’une ou l’autre des équations (6) et (7).

4). Le problème que l’on s’était proposé est maintenant résolu, et le plan X, lieu géométrique des pôles d’un plan donné Q par rapport aux surfaces inscrites à l’heptaèdre P, . . .P6 P, ou P, . . . P« P7, se peut construire par points de la manière suivante (fig- 6 7, p. 36o) :

Les plans P, et P2, Ps et P, se coupant deux à deux suivant les droites abc , b' a' c' , on construit les deux quadrilatères gauches aba'b' ,acc' b' interceptés sur ces droites par les plans P5 et P6, Ps et P7. Réunissant ensuite par une droite les conjuguées harmoniques, par rapport aux deux diagonales de chacun de ces quadrilatères, des traces de ces diagonales sur le plan Q; les deux droites résultantes se coupent en un point du plan cherché X.

323. Remarque. — Un cône du second ordre étant défini par un de ses plans tangents Q = o, la génératrice correspondante o = Q = P, et la condition de diviser harmoniquement toutes les diagonales d’un hexaèdre donné P, . . .P6= o : le problème que l’on vient de résoudre permet de construire un nouveau plan langent, ou une nouvelle génératrice de ce cône, et tous ses éléments.

Si l’on désigne, en effet, par P = o un plan mené arbitrairement suivant la génératrice donnée; par X = o le

LIEU GÉOMÉTRIQUE RELATIF A LHYFERBOLOÏDE. 363 plan qui touche le cône suivant la seconde génératrice contenue dans le plan P, les deux. formes équivalentes

de l’équation de ce cône entraînent l’identité

ou la détermination du plan X = o par la construction précédente.

32 i. Une seconde détermination du plan X, dont nous avons parlé plus haut, suppose l’intervention de l’hyperboloïde à une nappe et la recherche préalable du lieu géométrique du pôle d'un plan fixe, Q — o, par rapport à une série d 'hyperholoïdes conduits par les côtés d'un même quadrilatère gauche ABCD = o { fi g- 68).

Fig. 68.

Pour l’obtenir, écrivons successivement les équations

(2') Q = a A 4- b B -+- cC -I- d D = o,

lesquelles représentent l’un quelconque des hyperboloïdes de la série, le plan polaire correspondant d’un point indéterminé (A', B', C', D'), et enfin le plan donné. Le point (A', . . . , D') sera l’un des points du lieu si les équations (2)

et (2') coïncident, ou si l’on a

Le lieu que l’on cherche, défini par les équations simultanées a A' — cC', bW = dD', ou

a A — r C = o, êB — (ï D = o ,

est donc une droite, qui s’appuie sur chacune des diagonales du quadrilatère proposé, et dont les traces

(«A — cC) B.D = o, (4B — rfD) A . C = o

sur chacune d’elles ne sont autres que les conjugués harmoniques des traces

(«A -I- cC)B.D = o, ( AB + tlD) A.C — o

de ces mêmes diagonales sur le plan donné Q = b. Le lieu du pôle d'un plan fixe , par rapport à une série d'hyperboloïdes passant par les côtés d'un même quadrilatère gauche est donc une droite qui s'appuie de telle sorte sur les deux diagonales de ce quadrilatère que chacune d'elles se trouve divisée harmoniquement par cette droite et le plan donné.

2). Géométriquement, si q désigne ( Jïg . 69) le pôle du plan fixe Q par rapport à l’un des hyperboloïdes de la série,

Fig. 69.

et que l’on mène, de ce point, une droite qui s’appuie en m, m1 sur les côtés opposés AB, CD du quadrilatère, en q

AUTRE DÉTERMINATION d'un PLAN ANTÉRIEUR. 365 sur le plan Q; les points m , m ', q, q' formeront une division harmonique, et les plans conduits par la droite 00' et chacun de ces points, un faisceau harmonique.

Les plans identiques AOO' et DO'O, 00' q et 00' q1 (ou Q) divisent donc harmoniquement une transversale quelconque, et, en particulier, chacune des diagonales AC, BD du quadrilatère. Tous les points q dont on cherche le lieu appartiennent donc à un premier plan OO'q, harmoniquement conjugué du plan Q par rapport au dièdre fixe (AOO', DO'O), et qui renferme en particulier les conjugués harmoniques, par rapport à chacune des diagonales, des traces de ces diagonales sur le plan Q.

Raisonnant de même à l’égard des deux autres côtés opposés AD, BC du quadrilatère, nous reconnaîtrons que tous les points q appartiennent à un second plan contenant, comme le premier, les conjugués harmoniques, par rapport à chacune des diagonales, des traces de ces diagonales sur le plan Q.

L’intersection de ces deux plans, ou la droite qui réunit ces conjugués harmoniques, représente donc le lieu cherché.

3). Revenons maintenant à la détermination du plan X, et soient Q et 1 , 2, . . . , 7 les plans donnés ; 1 2 et 3 4 les droites d’intersection des plans 1 et 2, 3 et 4. Imaginons un hyperboloïde à une nappe H, assujetti à passer par chacune des droites 5'5", 6'6", 7'7" qui réunissent les traces de chacun des plans 5, 6, 7 sur les droites 12 et 3 4. L’hypcrboloïde H est déterminé par ces conditions, et représente, d’ailleurs, l’une des surfaces inscrites à l’heptaèdre 12. . .7. On aura donc un premier point du lieu géométrique des pôles du plan Q, par rapport à toutes ces surfaces, dans le pôle de ce plan par rapport à l’hyperboloïde H. Or celui-ci passant par les côtés de chacun des quadrilatères gauches 5' 5"6"6', î)'5'?7,/7', le pôle du plauQ, par rapport à cet hyperboloïde, se trouvera au point de

rencontre de deux droites, lieux géométriques des pôles de ce plan par rapport à tous les hyperboloïdes menés suivant les côtés du premier quadrilatère ou du second, et que l’on est en état de construire. Menant en effet, d’après ce qu’on vient de voir, les deux diagonales de chacun de ces quadrilatères ; déterminant leurs traces sur le plan Q et réunissant par une droite les conjugués harmoniques de ces traces par rapport à ces diagonales : le point de concours des deux droites résultantes sera le pôle même du plan Q par rapport à l’hyperholoïde H, ou l’uti des points du lieu cherché.

PROPRIÉTÉ DE NEUF POINTS ASSOCIÉS

Sommaire. — De la courbe gauche du quatrième ordre commune intersection de toutes les surfaces du second menées par les huit mêmes points; Théorème de M. Lamé. — Propriété de neuf points associés et translation du théorème de Desargues à la figure formée de neuf points d'une courbe gauche du quatrième ordre. — Construction, à l’aide de ce théorème, d’un neuvième point de la courbe; des éléments principaux du parubololde défini par huit points; des sommets des quatre cônes du second ordre passant par huit points donnés, etc.

§ I. — Du théorème de Desargues transporté, de. six points d'une conique, à neuf points d’une courbe gauche du quatrième ordre.

325. Lemme. — Toutes les surfaces du second ordre que l'on peut circonscrire à un meme groupe de huit points, indépendants les uns des autres, passent, d’clles-rnémes par une meme courbe gauche du quatrième ordre contenant chacun des points donnés et déterminée par T ensemble de ces points (Lamé, Exam. des diff. Méth. , p. 38).

On peut, en effet, par un calcul semblable à celui du n° 176, p. 178, réduire à la forme

aS + «'S' = o

l'équation générale des surfaces considérées. Toutes ces surfaces passent dès lors par la commune intersection des deux surfaces S, S', ou par une même courbe gauche du quatrième ordre, susceptible d’être coupée, par un plan quelconque, en quatre points seulement, réels ou imaginaires. Une telle courbe est donc complètement déterminée

par la donnée de huit quelconques de ses points; et neuf quelconques de ses points sont toujours associés, ou tels que toute surface du second ordre que l’on aura menée par huit d’entre eux passera d’elle-même par le dernier.

326. Il résulte du théorème précédent que les traces, sur une transversale quelconque, de n surfaces du second ordre circonscrites à un même groupe de huit points, font n couples de points conjugués en involution. Mais ce second théorème, qui n’est autre que celui de Desargues- Sturm, transporté dans les mêmes termes et par la même démonstration, d’un faisceau de coniques à un faisceau de surfaces, ne difïère de celui-là et ne le généralise qu’en apparence. Au fond, c’est toujours le théorème de Desargues appliqué au faisceau de coniques qui résulte de la section, par un plan conduit suivant la transversale, du faisceau de surfaces auquel s’applique l’énoncé ; et cette observation explique comment un théorème, si fécond dans le plan, ne donne lieu dans l’espace qu’à des applications infiniment plus restreintes et en quelque sorte exceptionnelles. Toutes ces applications, en effet, supposent la détermination préalable des traces de la transversale sur deux des courbes ou des surfaces du faisceau considéré ; et si cette détermination est aussitôt réalisable dans le plan, à l’aide de deux quelconques des trois couples de droites qui en font partie, il n’en est plus de même dans l’espace, en général ; si ce n’est dans quelques problèmes relatifs aux surfaces réglées.

S’il s’agit, par exemple, de déterminer les traces d'une droite donnée aa! sur un hyperboloïde défini par les trois génératrices AB, A1 B', A"Bff; on verra (fg. 70) que les points cherchés coïncident avec les points conjugués communs à deux divisions en involution, situées sur la transversale aa' et définies respectivement par deux couples de points conjugués a, b' et b, a'; a, b" et b, a", qui sont les traces de cette transversale sur les plans des angles opposés

intersection d’une droite et d’un hyperboeoÏde. 36g de deux quadrilatères gauches ABB'A', ABB"A" résultant de la section des trois génératrices données par

Fig. 70.

\\aJ

K ci \

deux génératrices du second système. L’hyperboloïde et les deux couples de plans formées des angles opposés du premier quadrilatère, ou du second, forment en effet deux faisceaux de trois surfaces du second ordre passant par une même ligne du quatrième, qui est ici l’ensemble des côtés du premier quadrilatère, ou du second; et les traces

x,x'\ a, b'", b, a', ou x, x'-, a,b"\ b, a"

de la droite donnée sur les trois surfaces de chaque faisceau font six points en involution.

L' intersection complète de deux hyperboloïdes ayant deux génératrices communes A et. B ( fi g. y 1 ) se peut en-

corè obtenir à l’aide du problème précédent. Si A, B, C et A, B, C' désignent, en effet, trois génératrices de chacun de ces hyperboloïdes; et que, après avoir déterminé les deux traces x, y de la génératrice C' du second sur le premier, on mène par chacune de ces traces une droite X ou Y* qui s’appuie sur les deux génératrices A et B communes aux deux surfaces : il est clair que l’intersection complète

des deux hyperboloïdes sera fournie par les quatre droites A, B, X et Y, ou par les côtés du quadrilatère gauche A.X.B. Y qu’elles déterminent (Steiner, Sy sternal. Entwickelung, p. 245-246).

327. Neuf points quelconques d’une courbe gauche du quatrième ordre étant toujours associés, ou tels que toute surface du second ordre que l’on aura menée par huit d’entre eux passe d’elle-méme par le dernier (n° 323); la propriété de n points associés quelconques (110 137, p. 140) leur est applicable, et l’on peut énoncer le principe suivant qui contient toute la théorie de ces courbes.

Théorème. — Les distances P,,. . ., P, de neuf points d'une courbe gauche du quatrième ordre à un plan quelconque satisfont à l'identité caractéristique

328. Corollaire I. — Un tétraèdre et un pentagone inscrits à une même courbe gauche du quatrième ordre sont toujours conjugués à une même surface du second : la surface représentée par l’unç ou l’autre des équations tangcnticlles équivalentes

Telle est, d’ailleurs, la définition du pentagone conjugué à une surface du second ordre, que le pôle correspondant du plan de chacun des angles du pentagone tombe en quelque point du côté opposé (n° 70, p. 56).

329. Corollaire II. — Un triangle et un octaèdre hexagonal inscrits à une même courbe gauche du quatrième ordre sont toujours conjugués à une même conique située dans le plan de ce triangle et représentée par l’une ou