DES COURBES GAUCHES DU QUATRIEME ORDRE

l’autre (les équations équivalentes

Telle est, d’ailleurs, la déiinilion de l'octaèdre conjugué à une conique, que les traces des faces opposées de l’octaèdre sur le plan de la courbe forment quatre couples de droites conjuguées par rapport à celle-ci.

330. Corollaire 111. — Enfin, si l'on suppose que quatre des neuf points qui figurent dans l’identité fondamentale appartiennent à un même plan, on obtient l’analogie que mettent en évidence les deux énoncés suivants :

Un quadrangle inscrit à une conique et le système de deux points forme des traces de la courbe sur une droite quelconque sont l’un et l’autre conjugués à une même ellipse évanouissante, réduite à un système de den x poin ts situés sur la droite considérée.

(Dbsargues.)

Nous allons voir, d’ailleurs, que l’analogie de ces théorèmes subsiste encore dans leurs applications. Mais, comme le second sert de fondement à tout ce Chapitre, nous en donnerons auparavant une autrè démonstration tirée de la forme analytique des surfaces circonscrites à un pentagone, associée à l’interprétation de certaines identités qui nous sont maintenant familières.

331. Autre démonstration. — Soient 1, 2, 3, 4,5 et x,y, z , t neuf points d'une epurbe gauche du quatrième ordre. Regardons celte courbe comme l’intersection de deux surfaces, circonscrites l’une et l’autre au pentagone

12 34 5 on P, . . . P, = o,

et rapportées aux plans des angles successifs de ce penta-

Un /tentagonc inscrit à une courbe gauche du quatrième ordre et le quadrungle ayant pour sommets les traces de la courbe sur un plan quelconque sont l’un et l’autre conjugués à un même ellipsoïde évanouissant, réduit à une conique située rions le plan considéré.

gone pat

* les équations (n° 60, p

^ij Pi P» ”4- à:4 Pj P< -4- . .

.+ XS2 P, P,=

f*l3 P| P3 + f*34 Pî P4 "+“ • •

• ■+• f*S2 P s Pï =

ou

Les sections de ces surfaces par le plan xyzt seront dès lors représentées par les équations analogues

^Tx13 P', P'3 = 0,

et le système formé de deux quelconques des cordes communes aux deux coniques résultantes par une combinaison

linéaire

X|3 P'| P j -+- f*IJ P*, P J = 0,

des deux précédentes. Telle est donc aussi l’équation du système XZ = o ou YT = o formé de deux côtés opposés quelconques du quadrangle qui résulte de la section de la courbe gauche primitive par le plan considéré. On a donc

identiquement

Vv„P'1P'3=XZ = YT.

Il en résulte que

les sept couples

p, p',, p',p'„ p;p;, p' p',, p;p;, xz, yt

font sept couples de droites conjuguées à une même co-