PROPRIÉTÉ DE NEUF POINTS DE LA COURBE

nique : et il est facile de reconnaître dans celle-ci la conique conjuguée au pentagone P', . . .P's dont les côtés successifs seraient les traces du plan xyzt sur les plans des angles successifs du pentagone gauche initial. Donc, etc.

§ II. — Applications. — Neuvième point, tangente , plan et cercle oscillateur d'une courbe gauche du quatrième ordre définie par huit points.

332. Problème I. — Etant donnés huit points 1,2,3, 4, 5, X,y, z d’une courbe gauche du quatrième ordre, trouver la quatrième trace de la courbe sur le plan mené par trois de ces points.

i). Soient t la quatrième trace de la courbe sur le plan xyz , et 12345 le penlagoue ayant pour sommets successifs les traces sur le même plan des côtés successifs du pentagone 12. . .5 ( fig . 72).

D’après le théorème du n" 330, il existe dans le plan xyz une certaine conique S simultanément conjuguée au quadrangle partiellement inconnu xyzt et au pentagone

Fie- 73.

K Vf

gauche 12... 5, ou au pentagone dérivé 1 2. . .5; de telle

sorte que les rôtés opposés du quadrangle .r yzt forment deux couples de droites conjuguées par rapport à la courbe S. Or la seule donnée du pentagone conjugué 12. . .5 détermine cette courbe, et si l’on construit le pôle correspondant, z' de la droite xy, celui x' de la droite yz, le point t que l’on cherche se trouvera au point de concours des droites

zz' , Xi' .

2). Il reste toutefois à construire le pôle d'une droite donnée xy (ouyz) par rapport à une conique S définie par un pentagone conjugué 12. . . Ji.

Soient, à cet effet (fig- 73),

les traces de la droite xy sur les côtés du pentagone respec-

Fig. 73.

tivement opposés aux sommets

et o le pôle inconnu de cette droite. 11 résulte de la défini tion de ces différents points et des dépendances qui existent entre une conique et un pentagone conjugués, que les triangles

l'2'4et21o, 2' 3' 5 et 3 2 o , . . . ,

CONSTRUCTION d’uN NEUVIÈME POINT. 3y5

réciproquement conjugués deux à deux par rapport à la courbe S, sont deux à deux homologiques (n° 180, p. 180) Les droites qui réunissent leurs sommets homologues,

l'2,2'let ko, 2'3, 3' 2 et 5o, . . .

concourent donc, trois à trois, en un même point