OU W

que l’on peut construire ; et les droites k «, , 5k>4

se coupent suivant le pôle cherché o.

333. Remarque I. — Si les points x, y, z s’éloignent de plus en plus et disparaissent à l’infini dans des directions d’ailleurs déterminées; le plan xyz, où s’efl’ectuail la construction précédente, disparaît également à l’infini. La construction subsiste toutefois, et l’on peut l’efi’ectuer dans tel plan que l’on veut. Le problème est alors celui-ci : Cinq points 1, 2, ... ,5 d’une courbe gauche du quatrième ordre et trois de ses directions asymptotiques x,y, z étant donnés, trouver la quatrième t?

Reprenons, à cet effet, les données et toutes les considérations du numéro précédent; en imaginant toutefois que les points x, y, z et le plan qu’ils déterminent s’éloignent de plus en plus. Puisque le quadrangle xyzt, intercepté par le plan mobile H dans la courbe (1 2345, xyz ), et le pentagone 1 2343 qui fait la trace sur le même plan du pentagone gauche 1 2 . . . 5, sont toujours conjugués l’un et l’autre à une même conique ; si l’on imagine un cône ayant pour base cette conique et pour sommet un point fixe quelconque o, on pourra dire, d’une manière équivalente, que les rayons menés du point o aux traces x, y, z, t. de la courbe sur le plan H, et les rayons menés du même point aux traces 1,2, .. .,5 sur le même plan des côtés successifs du pentagone gauche I 2 ... 5, forment les arêtes suc-

cessives de deux angles solides, tétraèdre et pentaèdre, conjugués l’un et l’autre à un même cône du second ordre : et les traces de ces rayons sur un plan quelconque H', les sommets d’un quadrangle et d’un pentagone conjugués à une même conique. Or, si le plan H disparaît actuellement à l'infini, ce dernier énoncé subsiste encore, et l’on peut dire que les parallèles menées d'un même point de l'espace aux côtés successifs d'un pentagone inscrit à une courbe gauche du quatrième ordre, et les rayons menés du même point aux quatre points de la courbe situés à l'infini, coupent un plan quelconque H' suivant les sommets successifs d’un pentagone et d’un quadrangle conjugués l'un et l'autre à une même conique. Connaissant le pentagone inscrit 12 ... 5 et trois des directions asymptotiques de la courbe, ox , oy, os, on saura donc construire la quatrième.

334. Remarque II. — Les traces sur un plan fixe de toutes les courbes gauches du quatrième ordre circonscrites à un pentagone donné (12... 5), sont les sommets d'autant de quadrangles ( xyzt ) conjugués à une conique fixe.

335. Remarque III. — Chacune des courbes gauches du quatrième ordre que l 'on peut circonscrire à un groupe donné de sept points (1 , 2, . . . , 5, X,y), rencontre un plan fixe conduit par deux quelconques d'entre eux (x, y) en deux autres points (z, t) tels que la droite qui les réunit passe par un point fixe : pôle de la droite xy par rapport à une conique conjuguée au pentagone gauche 1 2 ... 5, ou au pentagone plan dérivé 1 2 ... 5.

336. Remarque IV . — Les côtés successifs des douze pentagones gauches ayant pour sommets cinq points quelconques de l'espace rencontrent un plan quelconque suivant les sommets successifs d’autant de pentagones conjugiuis à une même conique.

Si x,y, z, t désignent, en effet, les traces, sur le plan considéré, de l’une quelconque des courbes gauches que

FORME SINGULIÈRE DE INÉQUATION d'iIÏE CONIQUE, ETC. 3 'J’]

l’on peut faire passer par les points 1 , 2, . . . , 5, on aura, comme précédemment, l'identité

-4- éY’-t- cZJ + rfT = o;

et les équations tangentiellcs équivalentes qui en résultent

Y\p; = o, aX’ -t- iY’ 4- cZ' -4- dl1 — o

àmJl

représentent unt conique qui ne dépend, comme le système des coellicients X,,...,^s, a, b, c, d, que du plan sécant .dont on a fait choix et du système des points 1, 2, . . . , 5 : nullement de l’ordre de succession de ces points. La courbe représentée par l’une ou l’autre 4e ces équations est donc conjuguée à chacun des pentagones gauches menés par les points 1 , . . . , 5 pris dans un ordre quelconque, comme à chacun des pentagones plans qui en dérivent.

C’est aussi ce que l'on peut voir directement.

Car (X,y, z), . . . , (x5, y s, z5) désignant les coordonnées des points 1, . . .,5, et ( I ) ax + by + cz \ — o

l’équation d’un plan indéterminé, ou variable, dont le mouvement serait particularisé et l’enveloppe définie par l’équation

(2) V LP; = o OU % 1, (ax, 4- by, -+- m, -h i)3 := o;

on pourra, en général, disposer des rapports arbitraires X, ij, de manière que celte enveloppe, perdant

l'une de ses dimensions, se réduise à une conique située, par exemple, dans le plan z — o. Posant, en effet, les quatre conditions

les termes en c1, ca, cb, c disparaissent de l’équation (2),

laquelle, ne contenant plus la variable c, définit l’enveloppe de la. seule trace

o — z— ax b y -t- 1 =0

du plan mobile (1) sur le plan z = o. D’ailleurs les équations de condition (3) sont au nombre de quatre et renferment linéairement quatre rapports indéterminés X, Donc, etc.

337. Remarque V. — Cette manière singulière de représenter la conique conjuguée au pentagone plan 12345 — à l’aide de l’équation tangentielle

*,PÎ = o,

rapportée aux sommets 1 , 2, . . . , 5 d’un pentagone gauche dont les côtés successifs s’appuient sur les sommets successifs 1, 2, . . .,5 du pentagone proposé — donne lieu à une conséquence remarquable.

Si l’on mène effectivement, par les sommets 1,2, .. .,5 d’un même pentagone plan, les côtés de deux pentagoues gauches distincts 12 . . . 5 et l'2'. . . 5'; les équations équivalentes

de la conique conjuguée au pentagone initial, rapportée à l’un ou à l’autre des pentagones gauches que l’on vient de définir, entraînent l’identité

ou la conclusion que les dix points de référence 1 , 2, .... 5 et 1', 2', .. .,5 appartiennent à une môme surface du second ordre. De là ce théorème : Les sommets rie deux pentagones gauches dont les côtés successifs se rencontrent, deux à deux, en cinq points situés dans un même

DE DEUX PENTAGONES GAUCHES INSCRIPT1BLES, ETC. ’i'jÇ)

plan , font dix points d’une même surface du second ordre. En particulier, deux pentagones gauches, à côtés parallèles, sont toujours inscriplibles à une même surface du second ordre.

338. Problème II. — Étant donnés huit points 1,2, 3, 4, 5,6, x,y

d 'une courbe gauche du quatrième ordre, trouver les deux dernières traces de la courbe sur un plan H conduit à volonté" par deux quelconques de ces points, x et y.

Considérons une surface auxiliaire du second ordre S définie par les huit points donnés et un neuvième point z pris arbitrairement sur le plan H :

S=123456xjs;

et soient, sur cette surface, Ct, C'4 les deux courbes gancnes du quatrième ordre respectivement définies par les neuf points précédents, moins le premier ou le second :

C, = 23456.r/z, C, = 1 3456.rj-z.

Les quatrièmes traces t , t1 de chacune de ces courbes sur le plan H, ou xyz, pouvant être déterminées d’après le problème précédent, on aura, dans les points

f Ci ) •** , y j z , t , t ,

cinq éléments de la courbe du second ordre qui fait la trace de la surface auxiliaire S sur le plan H, et à laquelle appartiennent aussi les deux points Z et T que l’on cherche.

D’ailleurs, pour construire chacun des points l ou t1, on aura dû construire d’abord (n°332) — le pointfixe z', ou z ", autour duquel tourne la corde qui réunit les deux dernières traces sur le plan H de chacune des courbes gauches du quatrième ordre menées par les sept premiers points de chaque groupe,

2, 3, 4, 5, 6, x, y, ou 1,3, 4,5, 6,. r ,y

(n° 335) — ou deux points z' , z" de la corde ZT que l’on cherche. On aura donc, dans la droite indéfinie z' z", la corde indéfinie ZT, et les extrémités de cette corde, ou les deux points cherchés, dans les traces de cette droite sur la conique (C*).

339. Remarque . — Si les points x, y et le plan H qui les contient s’éloignent indéfiniment, la construction précédente subsiste toujours, et fournit encore les deux derniers points à l’infini (Z, T) de la courbe gauche du quatrième ordre (1 2345 définie par six points et deux

de ses directions asymptotiques. Toutefois le point auxiliaire z , que l’on prenait d’abord arbitrairement sur le plan H, sera remplacé par un point pris à l’infini dans une direction arbitraire; et toute la construction modifiée conformément à la remarque du n° 333.